2008-新课标卷文-04 单-导数对数求导

本题导读

考查导数运算。$f^{\prime }(x)=\ln x+1$，由 $f^{\prime }(x_0)=2$ 得 $\ln x_0=1$，故 $x_0=e$，选 B。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 设 $f(x)=x\ln x$，若 $f^{\prime }(x_0)=2$，则 $x_0=$()

A. $e^2$　　　　　　　B. $e$　　　　　　　C. $\frac{\ln 2}{2}$　　　　　　　D. $\ln 2$

🔍【思路分析】

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1. 用乘积法则求 $f^{\prime }(x)$。
2. 令 $f^{\prime }(x_0)=2$ 解方程。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由乘积求导法则， $f^{\prime }(x)=\ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1.$ 令 $f^{\prime }(x_0)=2$，即 $\ln x_0+1=2$，得 $\ln x_0=1$，故 $x_0=e$. 故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的运算与对数求导

核心方法：$f^{\prime }(x)=\ln x+1$，令 $\ln x_0+1=2$ 得 $x_0=e$

避坑指南：$x\ln x$ 用乘积法则求导得 $\ln x+1$，别漏掉"$x\cdot \frac{1}{x}=1$"这一项；解 $\ln x_0=1$ 得 $x_0=e$，不是 $e^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数运算与几何意义是导数板块的起点，2009 新课标Ⅰ文第 13 题同考切线。

结论推广：$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$；$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$；$f^{\prime }(x_0)$ 即切线斜率。

方法推广：求导时先把乘法法则的每一项写全，再代入 $x_0$ 解方程；对数函数的导数要记牢。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2010-大纲卷II文-07 单-切线定参