2008-新课标卷文-22 解-圆切线圆幂定理

本题导读

考查圆的切线与圆幂定理。$OA\perp MA$、$AP\perp OM$，由射影定理得 $OM\cdot OP=O{A}^2$；第(2)问建系后证 $OK\perp KM$，即 $\angle OKM=90^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2008年新课标卷(文)） 如图，过圆 $O$ 外一点 $M$ 作它的一条切线，切点为 $A$，过 $A$ 点作直线 $AP$ 垂直直线 $OM$，垂足为 $P$.

(1)证明：$OM\cdot OP=O{A}^2$；

(2)$N$ 为线段 $AP$ 上一点，直线 $NB$ 垂直直线 $ON$，且交圆 $O$ 于 $B$ 点. 过 $B$ 点的切线交直线 $ON$ 于 $K$. 证明：$\angle OKM=90^{\circ }$.

🔍【思路分析】

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1. (1)由切线性质得 $OA\perp MA$，结合 $AP\perp OM$，用射影定理。
2. (2)建系（$O$ 为原点、$OM$ 为 $x$ 轴），设出各点坐标，用向量数量积证明垂直。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)设圆 $O$ 的半径为 $r$. 因为 $MA$ 是切线，所以 $OA\perp MA$，从而 $△OAM$ 是直角三角形. 又 $AP\perp OM$，所以 $AP$ 是直角三角形 $OAM$ 斜边 $OM$ 上的高. 由直角三角形斜边上的高的性质，得 $O{A}^2=OM\cdot OP.$ (2)建立平面直角坐标系，使 $O$ 为原点，$OM$ 为 $x$ 轴. 设 $M(m,0)$，$A(p,q)$，且 $p^2+q^2=r^2$. 因为 $OA\perp MA$，有 $(p,q)\cdot (m-p,-q)=0$，即 $mp=p^2+q^2=r^2$. 由 $AP\perp OM$，得 $P(p,0)$. 设 $N(p,n)$，并记 $s=p^2+n^2$. 直线 $NB\perp ON$，若 $B(u,v)$，则 $\{\begin{array}{l}p(u-p)+n(v-n)=0,\\ pu+nv=s.\end{array}$ 圆在 $B$ 点的切线方程为 $ux+vy=r^2$，设其与直线 $ON$ 的交点为 $K$. 因 $K\in ON$，可设 $K=\lambda (p,n)$，代入 $B$ 点切线方程得 $\lambda (pu+nv)=\lambda s=r^2$，故 $\lambda =\frac{r^2}{s}$，于是 $K=\frac{r^2}{s}(p,n)$. 由 $M=(m,0)$ 及 $mp=r^2$，有 $\overrightarrow{KO}\cdot \overrightarrow{KM}=(-K)\cdot (M-K)=|K{|}^2-K\cdot M=\frac{r^4}{s}-\frac{r^2}{s}mp=0.$ 故 $OK\perp KM$，即 $\angle OKM=90^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线与圆幂定理

核心方法：$O{A}^2=OM\cdot OP$（射影定理）；建系证 $\overrightarrow{KO}\cdot \overrightarrow{KM}=0$

避坑指南：切线 $MA$ 得 $OA\perp MA$，$AP\perp OM$，用直角三角形斜边上的高的性质直接得 $O{A}^2=OM\cdot OP$；第(2)问建系后关键是 $mp=r^2$ 这一关系的反复使用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何证明选讲中圆幂定理是主线，2009 新课标Ⅰ文第 22 题、2014 新课标Ⅱ文第 22 题同型。

结论推广：射影定理：直角 $△$ 斜边上的高满足 $h^2=$ 两段之积；切线长/弦长关系 $OM\cdot OP=O{A}^2$。

方法推广：第(1)问用射影定理一步到位；第(2)问建系后把”切点坐标满足 $x^2+y^2=r^2$“翻译成 $mp=r^2$ 反复利用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-22 解-四点共圆与角平分线
• 2011-新课标卷文-22 解-相交弦与四点共圆
• 2011-天津卷文-13 填-圆幂定理求线段
• 2014-新课标II卷文-22 解-圆幂定理