2008-江苏卷-12 填-椭圆离心率

本题导读

本题把两条切线互相垂直转化为点对圆心张角 $90^{\circ }$，得 $\frac{a^2}{c}=\sqrt{2}a$，从而求离心率。

📌【题干】

Question

（2008年江苏卷） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的焦距为 $2c$，以点 $O$ 为圆心，$a$ 为半径作圆 $M$. 若过点 $\left(\frac{a^2}{c},0\right)$ 所作圆 $M$ 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率 $e=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 从点 $Q\left(\frac{a^2}{c},0\right)$ 向圆 $M$（半径 $a$）引两条切线，切线互相垂直意味着两切点对圆心 $O$ 的张角关系可由等腰直角三角形确定。
2. 由 $|OQ|=\sqrt{2}a$ 得 $\frac{a^2}{c}=\sqrt{2}a$，解出 $e=\frac{c}{a}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $Q\left(\frac{a^2}{c},0\right)$。$QA$、$QB$ 是圆 $M$ 的两条切线（$A$、$B$ 为切点），则 $OA\perp QA$，$OB\perp QB$，且 $OA=OB=a$。 由对称性，$OQ$ 平分 $\angle AQB$。两切线互相垂直，即 $\angle AQB=90^{\circ }$，所以 $\angle AOQ=45^{\circ }$。 在直角三角形 $OAQ$ 中，$|OQ|=\frac{a}{\sin 45^{\circ }}=\sqrt{2}a$。 又 $|OQ|=\frac{a^2}{c}$，故 $\frac{a^2}{c}=\sqrt{2}a$，即 $\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。 所以离心率 $e=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的切线性质与椭圆离心率

核心方法：切线垂直转化为圆心处半角 $45^{\circ }$

避坑指南：切线长、半径与圆心距构成直角三角形；离心率 $e=\frac{c}{a}$，别把 $\frac{a}{c}$ 倒数当作答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 江苏卷第 13 题、2009 浙江文第 6 题同为离心率小题。

结论推广：离心率问题的本质是把几何条件译成 $a$、$c$ 的方程。

方法推广：切线垂直给出 $45^{\circ }$ 定位角，是本类题的常见设计。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-13 填-椭圆离心率
• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率