2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围

本题导读

考查椭圆离心率范围。由正弦定理得 $|P{F}_1|=e|P{F}_2|$，结合焦半径得 $\frac{x}{a}=\frac{e-1}{e(1+e)}$，由 $\frac{1-e}{e(1+e)}⩽1$ 得 $e⩾\sqrt{2}-1$；端点使 $P,F_1,F_2$ 共线应排除，范围为 $(\sqrt{2}-1,1)$。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$，$F_2(c,0)$.若椭圆上存在一点 $P$ 使 $\frac{a}{\sin \angle P{F}_1{F}_2}=\frac{c}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}$，则该椭圆的离心率的取值范围为 $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中由正弦定理，题设给出 $\frac{|P{F}_2|}{|P{F}_1|}=\frac{\sin \angle P{F}_1{F}_2}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}=\frac{a}{c}=\frac{1}{e}$。
2. 焦半径 $|P{F}_1|=a+ex$，$|P{F}_2|=a-ex$，代入得 $\frac{a+ex}{a-ex}=e$。
3. 解得 $\frac{x}{a}=\frac{e-1}{e(1+e)}$。
4. 存在这样的点 $⟺-1⩽\frac{x}{a}⩽1$；右端为负，只需 $\frac{1-e}{e(1+e)}⩽1$。
5. 整理得 $e^2+2e-1⩾0$，$e⩾\sqrt{2}-1$。
6. $e=\sqrt{2}-1$ 时 $P$ 为左顶点，两正弦均为零，题设无意义，排除端点。

✅【答案】

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$(\sqrt{2}-1,1)$

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的离心率为 $e=\frac{c}{a}$，则 $0<e<1$。在三角形 $P{F}_1{F}_2$ 中，由正弦定理，题设条件给出 $\frac{|P{F}_2|}{|P{F}_1|}=\frac{\sin \angle P{F}_1{F}_2}{\sin \angle P{F}_2{F}_1}=\frac{a}{c}=\frac{1}{e},$ 即 $\frac{|P{F}_1|}{|P{F}_2|}=e$。 设 $P=(x,y)$。椭圆的焦半径公式为 $|P{F}_1|=a+ex$，$|P{F}_2|=a-ex$。因此 $\frac{a+ex}{a-ex}=e,\text{从而}\frac{x}{a}=\frac{e-1}{e(1+e)}.$ 要使椭圆上存在这样的点，必须有 $-1⩽\frac{x}{a}⩽1$。由于 $0<e<1$，右端为负数，故只需 $\frac{1-e}{e(1+e)}⩽1,$ 整理得 $e^2+2e-1⩾0$，所以 $e⩾\sqrt{2}-1$。 当 $e=\sqrt{2}-1$ 时，$\frac{x}{a}=-1$，点 $P$ 为椭圆左顶点，三点 $P,F_1,F_2$ 共线，题设中的两个正弦均为零，原等式无意义，故应排除该端点。 于是离心率的取值范围为 $(\sqrt{2}-1,1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：焦点三角形中的正弦定理与焦半径

核心方法：条件化 $|P{F}_1|=e|P{F}_2|$，焦半径代入解出 $\frac{x}{a}$

避坑指南：端点 $e=\sqrt{2}-1$ 使 $P$ 落在 $x$ 轴上，两角正弦均为 $0$，题设分式无意义，必须排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：焦点三角形三边 $|P{F}_1|,|P{F}_2|,2c$，正弦定理把角的关系转成边的比。

结论推广：焦半径 $|P{F}_1|=a+ex$，$|P{F}_2|=a-ex$ 直接可用。

方法推广：存在性问题最后都要回代”$P$ 在椭圆上”的约束 $-a⩽x⩽a$，并检查退化情形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.07 焦点三角形专题

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形
• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积
• 2009-安徽卷文-06 单-双曲线离心率
• 2009-大纲卷I文-12 单-椭圆准线向量