2008-江西卷文-04 单-指对数单调性比较

本题导读

指数 $3^x$ 增、$y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ 减，${\log }_{4}x$ 增而 ${\log }_{x}3$ 随底数变化反向——逐项检验即可.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 若 $0<x<y<1$，则()

A. $3^y<3^x$　　　　B. ${\log }_{x}3<{\log }_{y}3$　　　　C. ${\log }_{4}x<{\log }_{4}y$　　　　D. ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x<{\left(\frac{1}{4}\right)}^y$

🔍【思路分析】

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${\log }_4$ 底为 4 大于 1 且递增，$x<y$ 给 ${\log }_{4}x<{\log }_{4}y$，C 对；A、D 方向反了，B 因换底后分母为负、大小反转.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

A 中 $y=3^x$ 在 $\mathbf{R}$ 上递增，$x<y$ 给 $3^x<3^y$，A 错. B 中 ${\log }_{x}3=\frac{\ln 3}{\ln x}$，由 $0<x<y<1$ 知 $0>\ln x>\ln y$（即 $\ln x$ 更接近 0）， 取 $\ln x=-1$、$\ln y=-2$ 得 $\frac{\ln 3}{\ln x}=-\ln 3<-\frac{\ln 3}{2}=\frac{\ln 3}{\ln y}$，即 ${\log }_{x}3>{\log }_{y}3$，B 错. C 中 $y={\log }_{4}x$ 递增，$x<y$ 给 ${\log }_{4}x<{\log }_{4}y$，C 对. D 中 $y={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ 递减，$x<y$ 给 ${\left(\frac{1}{4}\right)}^x>{\left(\frac{1}{4}\right)}^y$，D 错. 故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数与对数函数的单调性比较

核心方法：同底化或借助中间量 0、1 比较大小

避坑指南：$0<a<1$ 时指数、对数均为减函数，$lo{g}_{a}x$ 的符号随 $x$ 与 1 的大小反转；比较三个数时先按 $0,1$ 分档再同档细比

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指对数比大小是基本初等函数小题的必考（2010 新课标Ⅰ文 8、2012 江西文 4）

结论推广：推广到三数及以上比较，用 $0,1$ 及同底幂分档

方法推广：先分档（与 0、1 比）再同档细比（化同底），是标准流程

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-10 单-指数函数单调性比较
• 2013-北京卷文-02 单-不等式性质
• 2014-四川卷文-05 单-不等式性质
• 2012-湖南卷文-07 单-指对不等式比较