2007-江西卷文-03 单-对数型函数的定义域

本题导读

本题考查对数型函数的定义域。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 函数 $f(x)=\lg \frac{1-x}{x-4}$ 的定义域为 ()

A. $(1,4)$　　　B. $[1,4)$　　　C. $(-\infty ,1)\cup (4,+\infty )$　　　D. $(-\infty ,1]\cup (4,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 真数 $\frac{1-x}{x-4}>0$。
2. 临界点 1、4 分三段讨论分子分母符号。
3. 端点使真数为 0，取开区间。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

对数的真数必须为正：$\frac{1-x}{x-4}>0$． 临界点 $x=1$ 与 $x=4$：当 $x<1$ 时分子正分母负，真数为负；当 $1<x<4$ 时分子分母均为负，真数为正；当 $x>4$ 时分子负分母正，真数为负． 故定义域为 $(1,4)$，端点处真数为 0 不合，取开区间，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型函数的定义域

核心方法：对数真数大于 0：$\frac{1-x}{x-4}>0$ 穿根得 $(1,4)$

避坑指南：分式不等式先化为 $\frac{1-x}{x-4}>0$ 同解于 $(1-x)(x-4)>0$；分母 $x-4\ne 0$ 端点不取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数型函数定义域，指对函数基础题

结论推广：$y={\log }_a\frac{f(x)}{g(x)}$ 定义域即 $\frac{f(x)}{g(x)}>0$

方法推广：定义域题统一化为”真数 $>0$“再解分式/多项式不等式

🔗【关联脉络】

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• 2013-四川卷理-07 单-定义域
• 2008-江西卷文-04 单-指对数单调性比较
• 2007-大纲卷I文-08 单-对数函数最值与对数方程
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