2008-江西卷文-12 单-二次函数恒成立

本题导读

代 $x=0$：$g(0)=0$ 不为正，必须 $f(0)=4-m>0$，即 $m<4$；再验证 $m<4$ 时对一切 $x$ 成立（分 $m>0$、$m=0$、$m<0$ 三段）.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=2x^2+(4-m)x+4-m$，$g(x)=mx$，若对于任一实数 $x$，$f(x)$ 与 $g(x)$ 的值至少有一个为正数，则实数 $m$ 的取值范围是()

A. $[-4,4]$　　　　B. $(-4,4)$　　　　C. $(-\infty ,4)$　　　　D. $(-\infty ,-4)$

🔍【思路分析】

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$x=0$ 给必要条件 $m<4$；$m<4$ 时按符号讨论：$m>0$ 靠 $g$ 守正半轴、$f$ 守负半轴（最小值 $u-u^2/8>0$，$u=4-m\in (0,4)$）；$m=0$ 时 $f=2(x+1{)}^2+2$ 恒正；$m<0$ 时角色互换，均成立，故 $(-\infty ,4)$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

取 $x=0$：$g(0)=0$ 不是正数，必须 $f(0)=4-m>0$，得 $m<4$，排除 A、B、D 的方向，必要性成立. 下证 $m<4$ 时对任意 $x$ 至少一个为正，按 $m$ 的符号分三段： 当 $0<m<4$：$x>0$ 时 $g(x)=mx>0$；$x⩽0$ 时 $g⩽0$，而 $f(x)=2x^2+ux+u$，对称轴 $x=-\frac{u}{4}<0$， 其最小值 $f\left(-\frac{u}{4}\right)=u-\frac{u^2}{8}=\frac{u(8-u)}{8}>0$（因 $0<u<4$），故 $f>0$ 恒成立. 当 $m=0$：$g\equiv 0$，而 $f(x)=2x^2+4x+4=2(x+1{)}^2+2>0$ 恒成立. 当 $m<0$：$x<0$ 时 $g(x)=mx>0$；$x⩾0$ 时 $g⩾0$ 需 $f>0$，此时 $u=4-m>4$，$f(x)=2x^2+ux+u$ 在 $x⩾0$ 上递增（对称轴在左半轴），$f(x)⩾f(0)=u>0$. 综上 $m\in (-\infty ,4)$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数与正比例函数的恒成立

核心方法：把”至少一个为正”转化为分情况讨论，或讨论乘积/和的正负

避坑指南：$f(x)$ 与 $g(x)$ 至少一个为正 $Leftrightarrow$ 不存在二者同时非正，别与”二者都为正”混淆；恒成立问题常画图定区间

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒成立问题与函数零点（2010 山东文 12、2012 湖南文 8）

结论推广：推广到”至少一个为负""恰有一个为正”等变式，统一用根的分布

方法推广：恒成立/存在性问题的”正难则反”与图象法要熟练

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点
• 2010-安徽卷文-06 单-二次函数图象符号
• 2009-江苏卷-20 解-绝对值二次函数
• 2010-天津卷文-16 填-恒成立求参