2009-江苏卷-20 解-绝对值二次函数

本题导读

考查含参分类讨论。(1) $-a|a|⩾1\Rightarrow a⩽-1$；(2) $a⩾0$ 时最小值 $-2a^2$，$a<0$ 时为 $\frac{2a^2}{3}$；(3) 按 $\Delta$ 与根的位置分三段。

📌【题干】

Question

（2009年江苏卷） 设 $a$ 为实数，函数 $f(x)=2x^2+(x-a)|x-a|$.

(1) 若 $f(0)⩾1$，求 $a$ 的取值范围；

(2) 求 $f(x)$ 的最小值；

(3) 设函数 $h(x)=f(x)$，$x\in (a,+\infty )$.直接写出（不需给出演算步骤）不等式 $h(x)⩾1$ 的解集.

🔍【思路分析】

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1. (1) $f(0)=-a|a|$，$a⩾0$ 时不可能，$a<0$ 时 $a^2⩾1$。
2. (2) $x⩾a$：$f=3x^2-2ax+a^2$，顶点 $x=\frac{a}{3}$ 是否在段内决定最小值；$x<a$：$f=x^2+2ax-a^2$，顶点 $x=-a$ 同理。
3. (3) $h(x)=3x^2-2ax+a^2$，$\Delta =12-8a^2$，根 $r_{\pm }=\frac{a\pm \sqrt{3-2a^2}}{3}$，与定义域 $(a,+\infty )$ 结合分三段。

✅【答案】

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(1) $a⩽-1$；(2) $a⩾0$ 时最小值为 $-2a^2$，$a<0$ 时最小值为 $\frac{2a^2}{3}$；(3) 见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(0)=-a|a|$。当 $a⩾0$ 时，$-a^2⩾1$ 不可能；当 $a<0$ 时，$a^2⩾1$，所以 $a⩽-1$。 (2) 当 $x⩾a$ 时，$f(x)=3x^2-2ax+a^2$，顶点横坐标为 $x=\frac{a}{3}$。当 $a⩾0$ 时，顶点不在区间 $[a,+\infty )$ 内，最小值在 $x=a$ 处取得，为 $2a^2$；当 $a<0$ 时，顶点在区间 $[a,+\infty )$ 内，最小值为 $\frac{2a^2}{3}$。 当 $x<a$ 时，$f(x)=x^2+2ax-a^2$。当 $a⩾0$ 时，顶点 $x=-a$ 在该分支的定义域内，最小值为 $-2a^2$；当 $a<0$ 时，该分支在 $x<a$ 上递减，其下确界为在 $x=a$ 处的函数值 $2a^2$，而右侧分支可在 $x=\frac{a}{3}$ 处取得更小的值 $\frac{2a^2}{3}$。 因此 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上的最小值为：当 $a⩾0$ 时为 $-2a^2$；当 $a<0$ 时为 $\frac{2a^2}{3}$。 (3) 因为 $x\in (a,+\infty )$，所以 $h(x)=3x^2-2ax+a^2$。 不等式 $h(x)⩾1$ 等价于 $3x^2-2ax+a^2-1⩾0$，其判别式为 $12-8a^2$。 记 $r_{\pm }=\frac{a\pm \sqrt{3-2a^2}}{3}$（当根存在时）。分类可得： 当 $a\in \left(-\infty ,-\frac{\sqrt{6}}{2}\right]\cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty \right)$ 时，解集为 $(a,+\infty )$； 当 $a\in \left(-\frac{\sqrt{6}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 时，解集为 $(a,r_{-}]\cup [r_{+},+\infty )$； 当 $a\in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 时，解集为 $[r_{+},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参二次函数

核心方法：分段去绝对值 + 判别式三分 + 根与定义域比对

避坑指南：$a=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时 $r_{+}=a$，解集归入全解段 $(a,+\infty )$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：压轴题考分类讨论的完整性。

结论推广：(2) 的最小值按 $a$ 的符号分两段；(3) 按 $\Delta$ 符号先分，再比 $r_{\pm }$ 与 $a$。

方法推广：“直接写出”也要分段齐全；端点归属（$-\frac{\sqrt{6}}{2}$ 处恒成立）容易写错。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2012-安徽卷文-13 填-绝对值函数单调区间
• 2013-上海卷理-23 解-绝对值函数