2008-江西卷文-21 解-导数单调性与交点个数

本题导读

(1) $f^{\prime }(x)=x(x^2+ax-2a^2)=x(x-a)(x+2a)$，按 $-2a<0<a$ 列表定号；(2) $y=1$ 与四段单调区间的交点数只取决于 $1$ 与三个极值的大小，得 $0<a<1$ 或 $a>{\left(\frac{12}{7}\right)}^{1/4}$.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}a{x}^3-a^2{x}^2+a^4$（$a>0$）.

(1) 求函数 $y=f(x)$ 的单调区间；

(2) 若函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=1$ 恰有两个交点，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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(1) $f^{\prime }=x(x-a)(x+2a)$：递减 $(-\infty ,-2a)$、$(0,a)$，递增 $(-2a,0)$、$(a,+\infty )$. (2) 极值 $f(-2a)=-\frac{5a^4}{3}$（负）、$f(0)=a^4$（极大）、$f(a)=\frac{7a^4}{12}$（极小）. 最左段恒有 1 交点；最右段在 $a^4<\frac{12}{7}$ 时 1 交点；中间两段取决于 $a^4$ 与 1 的大小. 组合得恰 2 交点 ⟺ $0<a<1$ 或 $a>{\left(\frac{12}{7}\right)}^{1/4}$.

✅【答案】

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(1) 递增区间 $(-2a,0)$、$(a,+\infty )$，递减区间 $(-\infty ,-2a)$、$(0,a)$；(2) $0<a<1$ 或 $a>\sqrt[4]{\frac{12}{7}}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f^{\prime }(x)=x^3+a{x}^2-2a^{2}x=x(x^2+ax-2a^2)=x(x-a)(x+2a)$. 由 $a>0$，三个根为 $-2a<0<a$. 列表判号： $x\in (-\infty ,-2a)$ 时 $f^{\prime }<0$，递减；$x\in (-2a,0)$ 时 $f^{\prime }>0$，递增； $x\in (0,a)$ 时 $f^{\prime }<0$，递减；$x\in (a,+\infty )$ 时 $f^{\prime }>0$，递增. (2) 极值：$f(-2a)=-\frac{5a^4}{3}<0$（极小），$f(0)=a^4$（极大），$f(a)=\frac{7a^4}{12}$（极小）. 曲线从 $+\infty$ 降入极小谷、升过峰 $a^4$、降到谷 $\frac{7a^4}{12}$、再升向 $+\infty$. 最左段 $(-\infty ,-2a)$：$f$ 从 $+\infty$ 降到负值，与 $y=1$ 恰有 1 个交点，与 $a$ 无关. 中段与右段的交点数由 $a^4$ 与 1 的大小决定： 当 $0<a<1$：$a^4<1$，中段两块的最高点 $a^4$、$\frac{7a^4}{12}$ 均小于 1，无交点；右段 $f$ 从 $\frac{7a^4}{12}<1$ 升向 $+\infty$，恰 1 交点. 共 2 个 ✓ 当 $a=1$：$f(0)=1$，峰顶恰好触及 $y=1$，交点 3 个，不合. 当 $1<a⩽\sqrt[4]{\frac{12}{7}}$：中段升过 1 又降回 1 附近，右段谷 $\frac{7a^4}{12}⩽1$，交点至少 3 个，不合. 当 $a>\sqrt[4]{\frac{12}{7}}$：谷 $\frac{7a^4}{12}>1$，右段无交点；左段 1 个 + 升峰段（$(-2a,0)$ 上 $f$ 从负升到 $a^4>1$）1 个，共 2 个 ✓ 综上，$a$ 的取值范围为 $0<a<1$ 或 $a>\sqrt[4]{\frac{12}{7}}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数与单调性、交点个数

核心方法：求导定单调区间与极值，结合极限判断曲线与水平线的交点个数

避坑指南：极值点位置是 $a$ 的分段依据；$a$ 的正负改变单调区间，分类要完整，别漏 $a=0$ 或临界值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数单调性与交点个数（2010 江西文 17、2013 湖南文 21）

结论推广：推广到”曲线与斜线”的交点个数、参数分类讨论

方法推广：求导定单调 → 定极值 → 分类讨论，是导数综合题的固定三段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.05 导数大题中的“六大核心函数”图像与性质

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-21 解-四次函数极值与单调
• 2009-陕西卷文-20 解-三次函数单调与交点
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-山东卷文-21 解-导数切线与单调性