2008-江西卷理-15 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线焦点弦的几何性质。核心意图在于通过倾斜角确定焦点弦的斜率，利用焦半径公式或抛物线的极坐标通项公式，精准、快速地计算出分割后的两段焦半径之比。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 过抛物线 $x^2=2py$ ($p>0$) 的焦点 $F$ 作倾斜角为 $30^{\circ }$ 的直线，与抛物线分别交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在 $y$ 轴左侧），则 $\frac{|AF|}{|FB|}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 常规解法思路：写出焦点 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$ 的坐标，根据倾斜角 $30^{\circ }$ 写出直线的斜率 $k=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 进而列出直线方程。联立抛物线方程利用韦达定理算出两交点的纵坐标 $y_1,y_2$，结合焦半径公式 $r=y+\frac{p}{2}$ 求解比例。
2. 极坐标秒杀思路：在以焦点为极点、轴线对称轴反方向为极轴的空间极坐标系中，抛物线的焦半径通项公式为 $r=\frac{p}{1-\cos \theta }$。由于直线倾斜角为 $30^{\circ }$，其与垂直对称轴（$y$ 轴正方向）的夹角分别为 $60^{\circ }$ 和 $120^{\circ }$，代入公式可实现瞬间免运算秒杀。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解法一：极坐标通项法（推荐） 对于标准开口向上的抛物线 $x^2=2py$，焦点为 $F\left(0,\frac{p}{2}\right)$。 以焦点 $F$ 为极点，测量动弦与 $y$ 轴正方向（即抛物线对称轴向上方向）的夹角 $\theta$，其焦半径公式为： $r=\frac{p}{1-\cos \theta }$

已知穿过焦点 $F$ 的直线与 $x$ 轴正方向的倾斜角为 $30^{\circ }$。 根据空间几何关系，该直线在第一象限的延伸方向（点 $B$，在 $y$ 轴右侧）与 $y$ 轴正方向的夹角为： ${\theta }_B=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$ 则对应的焦半径长度为： $|FB|=\frac{p}{1-\cos 60^{\circ }}=\frac{p}{1-\frac{1}{2}}=2p$

该直线在第三象限的延伸方向（点 $A$，在 $y$ 轴左侧）与 $y$ 轴正方向的夹角为： ${\theta }_A=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ 则对应的焦半径长度为： $|AF|=\frac{p}{1-\cos 120^{\circ }}=\frac{p}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{2}{3}p$

计算两段焦半径的比值： $\frac{|AF|}{|FB|}=\frac{\frac{2}{3}p}{2p}=\frac{1}{3}$

正确答案为：$\frac{1}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦半径的几何定义（到焦点距离等于到准线距离）；焦点弦分割比例公式。
2. 核心方法：极坐标公式法或联立方程根与系数关系法。
3. 避坑指南：注意本题抛物线的标准方程是 $x^2=2py$（开口向上），其焦点在 $y$ 轴上。列直线方程或计算夹角时，切勿死记硬背开口向右的 $y^2=2px$ 模型，导致角度关系套错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是解析几何圆锥曲线板块中最经典的焦点弦比例考查题，属于各大省份高频出现的题型原型。
2. 结论推广: 对于任意标准抛物线，若过焦点的直线与抛物线对称轴正方向的夹角为 $\alpha$，则该直线被焦点分割形成的两部分焦半径长度之比的较小值，满足通用公式 $\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }={\tan }^2\frac{\alpha }{2}$。本题 $\alpha =60^{\circ }$，代入得 ${\tan }^{2}30^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{1}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长
• 2009-北京卷理-08 单-抛物线
• 2009-四川卷文-13 填-抛物线焦准距