2007-辽宁卷理-14 填-三角形中位线向量定理

本题导读

本题考查椭圆的焦半径几何计算。第一步利用椭圆的第二定义（或焦半径公式）由点 $P$ 到准线的距离直接解出焦半径 $|PF|$；第二步利用向量关系 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF})$ 识别出点 $M$ 为线段 $PF$ 的中点，从而将求 $|\overrightarrow{OM}|$ 转化为求焦点三角形对应中位线的长度。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上一点 $P$ 到左准线的距离为 10， $F$ 是该椭圆的左焦点. 若点 $M$ 满足 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF})$，则 $|\overrightarrow{OM}|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 提取椭圆基本量：

• $a^2=25⟹a=5$。
• $b^2=16$。
• $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$。
• 离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$。

2. 运用椭圆第二定义求焦半径：

• 第二定义：椭圆上任意一点到焦点的距离与到对应准线的距离之比等于离心率 $e$，即 $\frac{|PF|}{d}=e$。
• 已知到左准线距离 $d=10$，故左焦半径为 $|PF|=e\cdot d=\frac{3}{5}\times 10=6$。

3. 转化向量模：

• 关系式 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF})$ 表明点 $M$ 是以 $OP,OF$ 为邻边的平行四边形的对角线中点，即 $M$ 是线段 $PF$ 的中点。
• 既然 $M$ 是 $PF$ 的中点，且 $O$ 是坐标原点。这并不代表 $|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{2}|PF|$。
• 修正几何结构：由 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF})$ 结合中点公式可知 $M$ 是线段 $PF$ 的中点。
• 考虑在 $△P{F}_1{F}_2$（双焦点系统）中：设 $F$ 为左焦点 $F_1$，则 $O$ 是整个焦距 $F_1{F}_2$ 的中点。
• 在 $△P{F}_1{F}_2$ 中， $O$ 是 $F_1{F}_2$ 的中点， $M$ 是 $P{F}_1$ 的中点。根据三角形中位线定理，线段 $OM$ 是 $△P{F}_1{F}_2$ 的中位线。
• 从而有 $|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{2}|P{F}_2|$（右焦半径）。

4. 计算右焦半径：根据第一定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=10⟹6+|P{F}_2|=10⟹|P{F}_2|=4$。

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✍【详细解析】

Abstract

解：由椭圆的标准方程 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 可得： $a^2=25⟹a=5,b^2=16$ 根据基本几何关系 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{25-16}=3$。 其离心率为： $e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$

记左焦点 $F$ 为 $F_1$， 右焦点为 $F_2$。 根据椭圆的第二定义， 椭圆上任意一点 $P$ 到左焦点的距离 $|P{F}_1|$ 与它到左准线的距离 $d$ 之比等于离心率 $e$： $\frac{|P{F}_1|}{d}=e⟹|P{F}_1|=e\cdot d$ 已知点 $P$ 到左准线的距离 $d=10$， 代入计算得左焦半径为： $|P{F}_1|=\frac{3}{5}\times 10=6$

根据椭圆的第一定义， 椭圆上任意一点到左右两焦点的距离之和恒等于实轴长 $2a$： $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a=2\times 5=10$ 从而可以解得该点到右焦点的距离（右焦半径）为： $|P{F}_2|=10-|P{F}_1|=10-6=4$

分析题目给出的向量关系式： $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{O{F}_1}\right)$ 根据平面向量中点公式的代数特征， 该等式表明点 $M$ 严格是线段 $P{F}_1$ 的中点。 在焦点三角形 $△P{F}_1{F}_2$ 中：

• 坐标原点 $O$ 是左右两焦点线段 $F_1{F}_2$ 的中点；
• 点 $M$ 是侧边 $P{F}_1$ 的中点。 根据三角形中位线定理， 连线段 $OM$ 是 $△P{F}_1{F}_2$ 的一条中位线， 其长度严格等于对应底边 $P{F}_2$ 长度的一半： $|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{2}|P{F}_2|$ 将前面算得的右焦半径 $|P{F}_2|=4$ 代入： $|\overrightarrow{OM}|=\frac{1}{2}\times 4=2$

故答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆第二定义求焦半径（ $b^2/c$ 距离比）、双焦点系统中的三角形中位线几何转换。
2. 避坑指南：

• 此题极易在转化 $|\overrightarrow{OM}|$ 的几何意义时发生翻车。很多同学看到 $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OF})$ 判定出 $M$ 是 $PF$ 中点后，由于惯性思维想当然认为 $OM=\frac{1}{2}PF=3$。一定要画出双焦点的标准图形，看清原点 $O$ 是底边的中点， 从而准确识别出 $OM$ 是平行于另一条焦半径 $P{F}_2$ 的中位线， 进而通过第一定义转换求解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆的第一定义与第二定义、焦半径公式是辽宁卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是椭圆的第一定义与第二定义、焦半径公式的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用几何转化法（第二定义转换）、中点向量坐标化或模变形，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.07 焦点三角形专题
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-15 填-抛物线
• 2008-江西卷理-15 填-抛物线
• 2008-浙江卷理-12 填-椭圆