本题导读
本题考查空间组合几何体的体积计算与对称性分析。核心在于通过容器正置与倒置两种状态下水体积相等的条件，确定正四棱锥与正四棱柱的高度比例关系，进而利用对称性与体积之比判定各个命题的真伪。
📌【题干】
Question
（2008年江西卷(理)） 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 .如果将容器倒置，水面也恰好过点 （图2）.有下列四个命题： A. 正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
B. 将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 ；
C. 任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 ；
D. 若往容器内再注入 升水，则容器恰好能装满. 其中真命题的代号是 .（写出所有真命题的代号）
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🔍【思路分析】
破题导航
- 体积定量计算：设正四棱柱的底面积为 ，高为 ，正四棱锥的高为 。分别表示出图1和图2中水的体积 ，建立方程求出 与 的比例关系。
- 容积比例判定：计算容器的总容积与水的体积 的关系，从而判定命题 A 和 D 的真伪。
- 对称性分析：分析侧面水平放置时的几何对称轴与中心线位置，利用水体积恰为容器容积一半的特征判定命题 B 和 C。
✅【答案】
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B、D
✍【详细解析】
Abstract
设正四棱柱的底面积为 ，高为 ，底部镶嵌的正四棱锥形实心装饰块的高为 。 则正四棱锥的体积为：。
分析图1（正置状态）： 水面恰好经过正四棱锥的顶点 ，此时水深为 。 水与四棱锥在高度 以下的总总体积为 。 由于四棱锥是实心的，故水的体积 为：
分析图2（倒置状态）： 容器倒置后，四棱锥位于容器上部，顶点 向下。顶点 距离此时的容器底部（即原顶面）的高度为 。 水面恰好经过点 ，即水深为 。此时下部的水为纯四棱柱形态，不包含四棱锥的任何部分。 故水的体积 为：
由于前后水的体积 保持不变，联立两式得：
下面逐一判定四个命题：
- 对于命题 A：由计算可知 ，故 A 为假命题；
- 对于命题 D：容器的总容积（除去实心装饰块后的可用空间）为： 而水的体积 ，一目了然 。 因此再注入 升水，总水体积变为 ，容器恰好能装满，故 D 为真命题；
- 对于命题 B：将容器侧面水平放置时，由于底面是正方形，容器的可用空间关于过中心轴线的水平面具有完全对称性。又因为水的体积 恰好等于容器可用总容积 的一半（50%），由对称性可知，水面必然恰好落在包含中心轴线的水平面上。而顶点 位于中心轴线上，故水面必过点 ，故 B 为真命题；
- 对于命题 C：容器整体结构（由于一端有锥体镶嵌）关于几何中心并不具有完全的中心对称性，因此当任意倾斜摆放时，水面不一定会经过点 ，故 C 为假命题。
综上所述，真命题的代号是 B, D。
正确答案为：B, D
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：棱柱与棱锥的体积公式；空间轴对称与容积平衡模型的联立转化。
- 核心方法：方程模型法与对称分析法。
- 避坑指南：本题极易在倒置状态（图2）下误以为水面内部还包裹了四棱锥的部分体积，务必看清倒置后锥体整个位于上方，顶点 刚好触及水面，因此下半部分的水是标准的圆柱/方柱。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题是考查立体几何三维空间想象与逻辑推理的优秀创新题型，将物理学中的盛水容器形态与几何体积公式完美融合。
- 结论推广: 若向本题的多面体容器内注入部分液体，只要液体的体积恰好等于容器净容积的一半，且容器在某种对称放置下其净空间关于水平中心面具有对称性，则静止后的液面必然通过该空间的所有几何中心轴线。
🔗【关联脉络】
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