2012-湖北卷文-15 填-三视图圆柱组合体积

本题导读

本题考查三视图的还原，以及圆柱的体积。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(文)） 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为$\underline{}$.

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🔍【思路分析】

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几何体为两个半径 $2$ 高 $1$ 的圆柱夹一个半径 $1$ 高 $4$ 的圆柱，体积 $=8\pi +4\pi =12\pi$。

✅【答案】

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$12\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为 $2$，高为 $1$）与中间一个圆柱（底面圆半径为 $1$，高为 $4$）组合而成。

两侧圆柱体积之和为 $2\times \left(\pi \times 2^2\times 1\right)=8\pi$。

中间圆柱体积为 $\pi \times 1^2\times 4=4\pi$。

故该几何体的体积为 $8\pi +4\pi =12\pi$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由三视图还原几何体；圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$

核心方法：正视图定长高、侧视图定宽高、俯视图定底面形状，识别出圆柱组合后分块计算

避坑指南：正视图中标注的 $1,4,1$ 是三段水平长度（即圆柱的高或长），$4$ 与 $2$ 是高度；侧视图的实线圆与虚线圆分别对应半径 $2$ 与 $1$，虚线表示被外侧圆柱挡住的轮廓，别把中间圆柱半径看成 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图还原与体积计算题，与 2013 年辽宁卷文第 13 题、2014 年新课标Ⅱ文第 6 题同族。

结论推广：圆柱组合体体积等于各圆柱体积之和；正视图的”对称两段等宽”对应两个全等圆柱。

方法推广：三视图题先由侧视图的圆判断旋转体，再用正视图的标注定各段长度，最后分块套公式求和。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-13 填-三视图圆柱挖棱柱
• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削
• 2013-重庆卷文-08 单-三视图四棱柱表面积