2008-江西卷理-21 解-几何证明

本题导读

本题是一道将双曲线性质与解析几何轨迹方程相结合的压轴大题。第一问通过相关点代换法，将动点 A 的已知几何轨迹转化为重心 G 的二元解析方程；第二问借助现代解析几何中的极线（切点弦）恒等对应特性，完成共线证明。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 设点 $P(x_0,y_0)$ 在直线 $x=m$ ($y\ne \pm m,0<m<1$) 上，过点 $P$ 作双曲线 $x^2-y^2=1$ 的两条切线 $PA,PB$，切点为 $A,B$，定点 $M\left(\frac{1}{m},0\right)$.

(1)过点 $A$ 作直线 $x-y=0$ 的垂线，垂足为 $N$，试求 $△AMN$ 的重心 $G$ 所在的曲线方程;

(2)求证：$A,M,B$ 三点共线.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：设 $A(x_A,y_A)$，写出过 $A$ 垂直于 $x-y=0$ 的直线方程，求出交点 $N$ 的坐标。利用重心坐标公式建立 $G(x,y)$ 与 $A(x_A,y_A)$ 的代数方程组。反解出 $x_A,y_A$ 并代入双曲线方程完成轨迹构建。
2. 第二问思路：点 $P$ 的坐标可设为 $(m,y_0)$。根据解析几何中二次曲线的对偶原理，点 $P$ 关于双曲线 $x^2-y^2=1$ 的切点弦 $AB$ 方程为 $mx-y_{0}y=1$。将定点 $M$ 坐标代入验证即可。

✅【答案】

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因此𝐴，𝑀，𝐵三点共线

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 设动切点为 $A(x_A,y_A)$，则其满足双曲线方程：$x_A^2-y_A^2=1$。 过点 $A$ 且垂直于直线 $x-y=0$（斜率为 1）的垂线斜率为 $-1$，其直线方程为： $y-y_A=-(x-x_A)⟹x+y=x_A+y_A$ 联立方程组 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x+y=x_A+y_A\end{array}$，解得垂足 $N$ 的坐标为： $N\left(\frac{x_A+y_A}{2},\frac{x_A+y_A}{2}\right)$

设 $△AMN$ 的重心为 $G(x,y)$，已知定点 $M\left(\frac{1}{m},0\right)$。根据三角形重心坐标公式得： $\{\begin{array}{l}x=\frac{x_A+\frac{1}{m}+\frac{x_A+y_A}{2}}{3}\\ y=\frac{y_A+0+\frac{x_A+y_A}{2}}{3}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}6x=3x_A+y_A+\frac{2}{m}\\ 6y=x_A+3y_A\end{array}$ 解上述关于 $x_A,y_A$ 的二元一次方程组，可将 $A$ 点坐标用 $G$ 点坐标完全表出： $\{\begin{array}{l}{x}_A=\frac{9x-3y-\frac{3}{m}}{4}\\ y_A=\frac{9y-3x+\frac{1}{m}}{4}\end{array}$ 将 $x_A,y_A$ 代入原动点轨迹（双曲线方程）$x_A^2-y_A^2=1$ 中： ${\left(\frac{9x-3y-\frac{3}{m}}{4}\right)}^2-{\left(\frac{9y-3x+\frac{1}{m}}{4}\right)}^2=1$ 利用平方差公式或直接展开化简分子项，变形整理得： ${\left(3x-\frac{1}{m}\right)}^2-9y^2=2$ 两边同除以 2 得到标准型： $\frac{{\left(x-\frac{1}{3m}\right)}^2}{\frac{2}{9}}-\frac{y^2}{\frac{2}{9}}=1$ （其中需除去使切线不存在或退化的间断点）

(2)证明： 由于点 $P$ 在直线 $x=m$ 上，可设其坐标为 $P(m,y_0)$。 根据解析几何圆锥曲线的切点弦（极线）性质，过曲线外一点 $P(x_0,y_0)$ 向标准双曲线 $x^2-y^2=1$ 所作两条切线的切点弦 $AB$ 所在的直线方程为： $x_{0}x-y_{0}y=1$ 将 $P(m,y_0)$ 代入，得直线 $AB$ 的方程为： $mx-y_{0}y=1$

此时，将定点 $M\left(\frac{1}{m},0\right)$ 的坐标代入上述直线 $AB$ 方程的左边： $\text{左边}=m\cdot \frac{1}{m}-y_0\cdot 0=1=\text{右边}$ 这说明无论 $y_0$ 取何值，定点 $M$ 的坐标永远恒等满足切点弦 $AB$ 的直线方程。 即定点 $M$ 始终在直线 $AB$ 上，从而证得 $A,M,B$ 三点共线。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：动点轨迹方程的相关点代换变换；双曲线极点与极线的几何映射特性。
2. 核心方法：坐标转移法与极线方程运用法。
3. 避坑指南：第二问若不知道“切点弦方程”这一通性结论，采用传统的设而不求联立韦达定理去证斜率相等，运算量将极其庞大且极易在消元过程中由于代数式过长而流产。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有深厚的高等几何背景，属于射影几何中二次曲线的极点与极线（Polarity）对偶理论在欧氏空间内的标准投影。
2. 结论推广: 对于任意标准有心二次曲线（椭圆或双曲线），若动点 $P$ 的轨迹为一条不通过原点的直线 $Ax+By+C=0$，则其对应的切点弦 $AB$ 必恒过一个与该动线形成调和共轭的唯一对偶定点 $M\left(-\frac{A}{C},-\frac{B}{C}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-08 单-双曲线焦点三角形
• 2010-浙江卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形