2008-浙江卷文-14 填-余弦定理求角

本题导读

本题由边角混合等式求 $\cos A$：代入余弦定理把 $\cos A$、$\cos C$ 用边表示，化简得 $\cos A$ 的值。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$，若 $(\sqrt{3}b-c)\cos A=a\cos C$，则 $\cos A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 代入余弦定理 $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。
2. 去分母化简，约去 $b$，用 $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$ 代回求 $\cos A$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由余弦定理，$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$，$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。 代入已知等式并约去分母，得到 $(\sqrt{3}b-c)(b^2+c^2-a^2)=c(a^2+b^2-c^2)$。 展开化简为 $\sqrt{3}b(b^2+c^2-a^2)-2b^{2}c=0$。 由于 $b>0$，可得 $\sqrt{3}(b^2+c^2-a^2)=2bc$。 再利用 $b^2+c^2-a^2=2bc\cos A$，有 $2\sqrt{3}bc\cos A=2bc$， 所以 $\cos A=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：余弦定理求角

核心方法：余弦定理把 $\cos A$、$\cos C$ 换成边，化简

避坑指南：去分母后注意 $\sqrt{3}b$ 与 $-c$ 两项分别展开；约去 $b$ 前确认 $b>0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：2009 大纲Ⅰ文第 18 题、2011 江西文第 17 题同考解三角形求角。

结论推广：边角混合等式统一用余弦定理化边，是”边化”通法。

方法推广：化简后若得 $b^2+c^2-a^2$ 的组合，可用余弦定理回代求角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-18 解-解三角形求边
• 2010-北京卷文-10 填-余弦定理求边
• 2011-江西卷文-17 解-射影定理与解三角形
• 2009-浙江卷文-18 解-解三角形与向量