2011-江西卷文-17 解-射影定理与解三角形

本题导读

本题考查正弦定理，以及射影定理（$c\cos B+b\cos C=a$）。

📌【题干】

Question

（2011年江西卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$A$，$B$，$C$ 的对边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $3a\cos A=c\cos B+b\cos C$.

(1)求 $\cos A$ 的值；

(2)若 $a=1$，$\cos B+\cos C=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求边 $c$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：（1）$c\cos B+b\cos C=a$ 直接化简
2. 步骤2：（2）和差化积结合 $\cos A$ 定 $B=C$
3. 步骤3：再解等腰三角形

✅【答案】

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(1) $\cos A=\frac{1}{3}$

(2) $c=\frac{\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由射影定理（或正弦定理 + 内角和）：$c\cos B+b\cos C=a$。

代入条件：$3a\cos A=a$，$a\ne 0$，故 $\cos A=\frac{1}{3}$。

（2）$\cos B+\cos C=2\cos \frac{B+C}{2}\cos \frac{B-C}{2}$。

$B+C=\pi -A$，$\cos \frac{B+C}{2}=\cos \left(\frac{\pi }{2}-\frac{A}{2}\right)=\sin \frac{A}{2}$。

${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{1}{3}$，$\sin \frac{A}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$（半角为正）。

于是 $2\times \frac{\sqrt{3}}{3}\cos \frac{B-C}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，得 $\cos \frac{B-C}{2}=1$，故 $B=C$。

$△ABC$ 为等腰三角形，$b=c$。由正弦定理或射影定理：$a=2b\sin \frac{A}{2}=2c\times \frac{\sqrt{3}}{3}$。

$c=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：射影定理 $a=b\cos C+c\cos B$；半角公式 ${\sin }^2\frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}$；和差化积；由 $\cos \frac{B-C}{2}=1$ 定等腰

核心方法：（1）识别 $c\cos B+b\cos C$ 的射影结构；（2）把 $\cos B+\cos C$ 化为 $\sin \frac{A}{2}$ 与 $\cos \frac{B-C}{2}$ 的乘积，定出 $B=C$ 后用 $a=2b\sin \frac{A}{2}$ 收尾

避坑指南：$c\cos B+b\cos C=a$ 是射影定理的直接应用，用正弦定理硬推也行但步骤长；$\cos \frac{B-C}{2}=1$ 说明 $B=C$（角差为零），别误推出其他关系；等腰确定后 $a=2c\sin \frac{A}{2}$ 中用的是半角正弦 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，代成 $\sin A$ 会错一倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形题与 2011-辽宁卷文-17、2011-湖南卷文-17、2012-新课标卷文-17 同族。

结论推广：推广：条件含 $b\cos C+c\cos B$ 的结构即射影定理，一步化为 $a$；$\cos B+\cos C=2\sin \frac{A}{2}\cos \frac{B-C}{2}$ 把”两角余弦之和”拆成半角与半差两个因子，当右侧给定时常能锁定 $\cos \frac{B-C}{2}=1$（等腰）。

方法推广：解三角形大题：见到”边乘邻角余弦对称求和”想射影定理；见到”两角函数之和”想和差化积；等腰确定后换用 $a=2b\sin \frac{A}{2}$ 快速收边。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-17 解-正余弦定理解三角形
• 2011-湖南卷文-17 解-正弦定理与三角最值
• 2012-新课标卷文-17 解-正余弦定理解三角形