2008-浙江卷理-06 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质与前n项和。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，$a_2=2,a_5=\frac{1}{4}$，则 $a_1{a}_2+a_2{a}_3+\cdots +a_n{a}_{n+1}=$ ()

A. $16(1-4^{-n})$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $16(1-2^{-n})$

C. $\frac{32}{3}(1-4^{-n})$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{32}{3}(1-2^{-n})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $a_2,a_5$ 的值利用等比数列通项公式求出公比 $q$ 和首项 $a_1$。
2. 分析目标数列 $b_n=a_n{a}_{n+1}$ 的特征，证明其是首项为 $a_1{a}_2$，公比为 $q^2$ 的新等比数列。
3. 利用等比数列求和公式求解新数列的前 $n$ 项和。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$。 由 $a_5=a_2\cdot q^3$，代入得： $\frac{1}{4}=2\cdot q^3⟹q^3=\frac{1}{8}⟹q=\frac{1}{2}$ 所以首项 $a_1=\frac{a_2}{q}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$。 令目标数列为 $\{b_n\}$，其中 $b_n=a_n{a}_{n+1}$。 $b_1=a_1{a}_2=4\times 2=8$ 因为 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=q^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$， 所以数列 $\{b_n\}$ 是以 8 为首项， $\frac{1}{4}$ 为公比的等比数列。 其前 $n$ 项和为： $S_n=\frac{b_1(1-(q^2{)}^n)}{1-q^2}=\frac{8\left(1-{\left(\frac{1}{4}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{8\left(1-4^{-n}\right)}{\frac{3}{4}}=\frac{32}{3}(1-4^{-n})$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式与求和公式；等比数列的乘积性质。
2. 核心方法：新等比数列的构造与基本量代换法。
3. 避坑指南：新数列的公比是原数列公比的平方 $q^2$，极易误认为公比依然是 $q$ 导致选 D；注意公式中 $4^{-n}$ 的指数化简。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中等比数列综合应用，通过对项进行两两相乘构造出全新的几何级数。
2. 结论推广：若 $\{a_n\}$ 是以 $a_1$ 为首项、 $q$ 为公比的等比数列，则数列 $\{a_n{a}_{n+k}\}$ 是以 $a_1^2{q}^k$ 为首项、 $q^2$ 为公比的等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和