2009-北京卷文-10 填-等比数列求和

本题导读

考查等比数列。$a_{n+1}=2a_n$ 即 $q=2$，$a_5=2^4=16$，$S_8=2^8-1=255$。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），则 $a_5=$ $\underline{}$；前 $8$ 项的和 $S_8=$ $\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. $\{a_n\}$ 是首项 $1$、公比 $2$ 的等比数列，$a_n=2^{n-1}$。
2. $a_5=2^4=16$。
3. $S_8=\frac{2^8-1}{2-1}=255$。

✅【答案】

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$16$；$255$

✍【详细解析】

Abstract

由 $a_{n+1}=2a_n$ 知 $\{a_n\}$ 是首项为 $1$、公比为 $2$ 的等比数列，$a_n=2^{n-1}$。 $a_5=2^4=16,S_8=\frac{1\times (2^8-1)}{2-1}=255.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项与前 n 项和

核心方法：识别 $q=2$ 套公式

避坑指南：$a_{n+1}=2a_n$ 即公比 $2$：$a_5=2^4=16$，$S_8=2^8-1=255$；通项是 $2^{n-1}$ 别写成 $2^n$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量运算是数列必考小题。

结论推广：$a_n=a_1{q}^{n-1}$，$S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$（$q\ne 1$）。

方法推广：递推式 $a_{n+1}=k{a}_n$（$k$ 常数）直接读出公比，不必逐项递推。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-12 填-等比数列求和
• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比