2008-湖北卷文-19 解-广告尺寸均值不等式

本题导读

令 $x=h-20$，$S=25x+\frac{360000}{x}+18500⩾2\sqrt{25\times 360000}+18500=24500$，$x=120$，高 $140$、宽 $175$.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为 $18000{\mathrm{cm}}^2$，四周空白的宽度为 $10\mathrm{cm}$，两栏之间的中缝空白的宽度为 $5\mathrm{cm}$，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：$\mathrm{cm}$），能使矩形广告面积最小？

🔍【思路分析】

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上、下各留 $10$，故栏目总高为 $h-20$；由面积定 $w=\frac{9000}{x}$；广告宽为 $2w+25$，面积 $S=(x+20)\left(\frac{18000}{x}+25\right)$ 展开后均值不等式.

✅【答案】

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广告的高为 $140\mathrm{cm}$，宽为 $175\mathrm{cm}$ 时，矩形广告面积最小，最小面积为 $24500{\mathrm{cm}}^2$

✍【详细解析】

Abstract

设广告的高为 $h$，每个矩形栏目的宽为 $w$. 由于上下空白各为 $10\mathrm{cm}$，两栏面积之和为 $18000{\mathrm{cm}}^2$，有 $2w(h-20)=18000$. 令 $x=h-20$，则 $x>0$，且 $w=\frac{9000}{x}$. 广告的宽为 $2w+5+2\times 10=\frac{18000}{x}+25$. 所以广告面积 $S=(x+20)\left(\frac{18000}{x}+25\right)=25x+\frac{360000}{x}+18500$. 由基本不等式，$25x+\frac{360000}{x}⩾2\sqrt{25x\cdot \frac{360000}{x}}=6000$，当且仅当 $25x=\frac{360000}{x}$ 时取等号. 因为 $x>0$，解得 $x=120$. 此时 $h=x+20=140$，$w=\frac{9000}{120}=75$，广告的宽为 $2w+25=175$. 因此广告的高为 $140\mathrm{cm}$，宽为 $175\mathrm{cm}$，最小面积为 $24500{\mathrm{cm}}^2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式的实际应用

核心方法：设元后把目标写成 $ax+\frac{b}{x}+c$ 型，配凑定值取等

避坑指南：栏目高是 $h-20$（上下各留 $10$），宽是 $2w+25$（中缝 $5$ 加左右各 $10$），尺寸关系别数错；取等条件 $25x=\frac{360000}{x}$ 解出 $x=120$ 后要还原成广告的高与宽

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：基本不等式的实际应用题（广告版面的优化设计）

结论推广：目标函数化为 $ax+\frac{b}{x}+c$ 后，最小值 $2\sqrt{ab}+c$；取等条件 $ax=\frac{b}{x}$

方法推广：应用题三步：设元（设谁）→ 列式（约束与目标）→ 求解（不等式或导数），最后必须还原成实际量的作答

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-17 解-均值不等式应用
• 2014-湖北卷文-16 填-分式最值
• 2012-湖北卷理-19 解-几何证明
• 2007-湖北卷理-19 解-解析几何中定值存在性问题