2014-湖北卷文-16 填-分式最值

本题导读

把 $F$ 化为 $\frac{1}{v+\frac{c}{v}+18}$ 型，用均值不等式。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(文)） 某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 $F$（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度 $v$（假设车辆以相同速度 $v$ 行驶，单位：米/秒），平均车长 $l$（单位：米）的值有关，其公式为 $F=\frac{76000v}{v^2+18v+20l}$.

(1) 如果不限定车型，$l=6.05$，则最大车流量为$\underline{}$辆/小时；

(2) 如果限定车型，$l=5$，则最大车流量比 (1) 中的最大车流量增加$\underline{}$辆/小时.

🔍【思路分析】

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$F=\frac{76000}{v+\frac{20l}{v}+18}$，均值不等式取等。

✅【答案】

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$1900$；$100$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $l=6.05$ 时 $20l=121$，$F=\frac{76000}{v+\frac{121}{v}+18}⩽\frac{76000}{2\sqrt{121}+18}=\frac{76000}{40}=1900$，当且仅当 $v=11$ 时取等。 (2) $l=5$ 时 $20l=100$，$F⩽\frac{76000}{2\sqrt{100}+18}=\frac{76000}{38}=2000$，当且仅当 $v=10$ 时取等。增加 $2000-1900=100$ 辆/小时。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式函数最值

2. 核心方法：均值不等式或求导

3. 避坑指南：$\frac{v}{v^2+18v+c}=\frac{1}{v+\frac{c}{v}+18}$，用「分母最小 ⟺ 分式最大」配合 $v+\frac{c}{v}⩾2\sqrt{c}$ 最快；注意 $v=11$ 与 $v=10$ 分别对应 $c=121$ 与 $c=100$，取等条件不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 对勾函数型的分式最值应用题。

2. 结论推广: $v+\frac{c}{v}⩾2\sqrt{c}$（$v>0$），当且仅当 $v=\sqrt{c}$ 时取等。

3. 方法推广: 分式最值的两条常规路径：均值不等式（凑「和一定」）与求导；应用题最后必须回答实际量纲与单位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-14 填-二项式通项
• 2014-浙江卷理-21 解-椭圆方程与性质