2008-湖北卷文-21 解-数列构造等比与存在性

本题导读

$c_n=(\lambda +18){\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$；$a_2^2-a_1{a}_3=9\ne 0$ 否定等比；$S_n=-\frac{3}{5}(\lambda +18)\left[1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right]$，$n=1$ 给必要条件 $\lambda <-6$，再证充分.

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(文)） 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$a_1=\lambda$，$a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+n-4$，$b_n=(-1{)}^n(a_n-3n+21)$，其中 $\lambda$ 为实数，$n$ 为正整数.

(1)证明：对任意实数 $\lambda$，数列 $\{a_n\}$ 不是等比数列；

(2)证明：当 $\lambda \ne -18$ 时，数列 $\{b_n\}$ 是等比数列；

(3)设 $S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，都有 $S_n>-12$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

先构造 $c_n=a_n-3n+21$：它恰成公比 $\frac{2}{3}$ 的等比，进而把 $b_n$ 写成显式；(1)用 $a_2^2=a_1{a}_3$ 的必要条件找矛盾；(3)$S_1>-12$ 给出必要条件，再分 $\lambda +18⩽0$ 与 $0<\lambda +18<12$、$n$ 的奇偶分类验证充分性.

✅【答案】

点击查看答案

(3)存在，$\lambda$ 的取值范围为 $\lambda <-6$

✍【详细解析】

Abstract

【裁定】原卷第三问题号误印为”(2)“（与前问重复），按答案节为”(3)“录入. (1)令 $c_n=a_n-3n+21$. 由递推式， $c_{n+1}=a_{n+1}-3(n+1)+21=\frac{2}{3}{a}_n+n-4-3n-3+21=\frac{2}{3}(a_n-3n+21)=\frac{2}{3}{c}_n$. 又 $c_1=\lambda +18$，所以 $c_n=(\lambda +18){\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$，$b_n=(-1{)}^n(\lambda +18){\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$. 由递推式得 $a_2=\frac{2}{3}\lambda -3$，$a_3=\frac{4}{9}\lambda -4$. 若 $\{a_n\}$ 是等比数列，则必有 $a_2^2=a_1{a}_3$. 但 $a_2^2-a_1{a}_3={\left(\frac{2}{3}\lambda -3\right)}^2-\lambda \left(\frac{4}{9}\lambda -4\right)=9\ne 0$，矛盾. 因此对任意实数 $\lambda$，数列 $\{a_n\}$ 都不是等比数列. (2)当 $\lambda \ne -18$ 时，$b_n\ne 0$，且 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{(-1{)}^{n+1}{c}_{n+1}}{(-1{)}^n{c}_n}=-\frac{2}{3}$. 所以数列 $\{b_n\}$ 是首项 $b_1=-(\lambda +18)$、公比为 $-\frac{2}{3}$ 的等比数列. (3)由等比数列求和公式（$\lambda =-18$ 时该式也成立）， $S_n=-(\lambda +18)\cdot \frac{1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n}{1+\frac{2}{3}}=-\frac{3}{5}(\lambda +18)\left[1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right]$. 取 $n=1$，由 $S_1>-12$ 得 $-(\lambda +18)>-12$，即 $\lambda <-6$，这是必要条件. 下证充分性. 若 $\lambda +18⩽0$，则对任意正整数 $n$，有 $1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n>0$，从而 $S_n⩾0>-12$. 若 $0<\lambda +18<12$：当 $n$ 为偶数时，$0<1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n<1$；当 $n$ 为奇数时，$1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n=1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n⩽\frac{5}{3}$. 于是对任意正整数 $n$，$S_n⩾-\frac{3}{5}(\lambda +18)\cdot \frac{5}{3}=-(\lambda +18)>-12$. 所以存在这样的实数 $\lambda$，其取值范围为 $\lambda <-6$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推的构造与等比判定

核心方法：构造 $c_n=a_n-3n+21$ 化为等比，等比判定用 $a_2^2=a_1{a}_3$ 找矛盾，求和后分奇偶放缩

避坑指南：$\lambda =-18$ 时 $b_n\equiv 0$，等比数列定义要求首项非零，所以(2)必须限定 $\lambda \ne -18$；充分性证明中 $n$ 为奇数时 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^n⩽\frac{2}{3}$ 取最大，别按 $n\to \infty$ 放缩

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列递推构造与存在性探究的压轴题（原解法即构造 $a_n-3n+21$）

结论推广：递推 $a_{n+1}=p{a}_n+qn+r$ 型一律构造 $a_n+\alpha n+\beta$ 化等比；等比否定用 $a_2^2\ne a_1{a}_3$；恒成立探究先取特殊 $n$ 得必要条件再证充分

方法推广：“不是等比”的证明只需找一组矛盾（$a_2^2\ne a_1{a}_3$）；“存在性”问题按”必要性探路 + 充分性证明”两段走，奇偶分类是等比求和放缩的常规武器

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.02 等比数列全总结
• 19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系
• 2010-湖北卷文-19 解-数列递推与通项
• 2015-湖北卷文-19 解-数列求和
• 2008-湖北卷理-21