2010-湖北卷文-19 解-数列递推与通项

本题导读

考查数列应用。$S_1=1.1a-b$，$S_2=1.21a-2.1b$；$S_5=1.1^{5}a-6b=1.3a$（$1.1^5=1.6$），解得 $b=0.05a$。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(文)） 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 $a$（单位：m${}^2$），其中有部分旧住房需要拆除. 当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10% 建设新住房，同时也拆除面积为 $b$（单位：m${}^2$）的旧住房.

(1) 分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；

(2) 如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面积 $b$ 是多少？（计算时取 $1.1^5=1.6$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设第 $n$ 年年初面积为 $S_{n-1}$，则 $S_n=1.1S_{n-1}-b$，$S_0=a$。
2. $S_1=1.1a-b$；$S_2=1.1S_1-b=1.1(1.1a-b)-b=1.21a-2.1b$。
3. 逐次展开：$S_5=1.1^{5}a-b(1+1.1+1.1^2+1.1^3+1.1^4)$。
4. 等比和 $=\frac{1.1^5-1}{1.1-1}=\frac{1.6-1}{0.1}=6$。
5. $S_5=1.6a-6b=1.3a\Rightarrow 6b=0.3a\Rightarrow b=0.05a$。

✅【答案】

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(1) $S_1=1.1a-b$，$S_2=1.21a-2.1b$

(2) $b=0.05a$

✍【详细解析】

Abstract

设第 $n$ 年年初的住房面积为 $S_{n-1}$，则每年建设并拆除后，年末面积满足 $S_n=1.1S_{n-1}-b,S_0=a.$ (1) 第一年末 $S_1=1.1a-b.$ 第二年末 $S_2=1.1S_1-b=1.1(1.1a-b)-b=1.21a-2.1b.$ (2) 由递推关系逐次展开，得第五年末 $S_5=1.1^{5}a-b\left(1+1.1+1.1^2+1.1^3+1.1^4\right).$ 按题设 $S_5=1.3a$，且 $1.1^5=1.6$，所以 $1+1.1+1.1^2+1.1^3+1.1^4=\frac{1.1^5-1}{1.1-1}=\frac{1.6-1}{0.1}=6.$ 于是 $1.6a-6b=1.3a$，解得 $b=0.05a$. 故每年拆除的旧住房面积为 $0.05a$ m${}^2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推与通项

核心方法：由递推式构造等比数列求通项，再求前 $n$ 项和与参数

避坑指南：由 $S_{n+1}-S_n$ 与递推关系得 $\{a_n\}$ 的等比结构，求出 $S_1=1.1a-b$、$S_2=1.21a-2.1b$，令条件成立得 $b=0.05a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由 $S_n$ 与 $a_n$ 的递推关系求通项，是数列题的高频入口。

结论推广：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\ge 2$），$a_1=S_1$；构造等比或等差求通项。

方法推广：用 $S_n$ 递推时注意 $n\ge 2$ 的适用范围，$a_1$ 单独验证。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-20 解-数列递推与增长率
• 2014-湖南卷理-08 单-增长率问题
• 2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系
• 2012-大纲卷文-06 单-数列递推求和