2008-湖北卷理-07 单-导数

本题导读

本题考查导数在函数单调性中的应用。通过“函数在给定区间内单调递减”转化为“导函数在区间内恒小于或等于零”，再利用分离参数法转化为求函数的最值。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 若 $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+b\ln (x+2)$ 在 $(-1,+\infty )$ 上是减函数，则 $b$ 的取值范围是 ()

A. $[-1,+\infty )$　　　B. $(-1,+\infty )$　　　C. $(-\infty ,-1]$　　　D. $(-\infty ,-1)$

🔍【思路分析】

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1. 求出函数 $f(x)$ 的导函数 $f^{\prime }(x)$。
2. 根据单调递减的性质，得到在区间 $(-1,+\infty )$ 上 $f^{\prime }(x)\le 0$ 恒成立。
3. 利用分离参数法，将含有参数 $b$ 的部分孤立在一侧，转化为求右侧自变量函数在给定区间上的最值或下界。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

对函数 $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+b\ln (x+2)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=-x+\frac{b}{x+2}$

因为 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty )$ 上是减函数， 所以在区间 $(-1,+\infty )$ 上，恒有 $f^{\prime }(x)\le 0$，即： $-x+\frac{b}{x+2}\le 0⟹\frac{b}{x+2}\le x$

因为 $x\in (-1,+\infty )$，所以 $x+2>1>0$。 不等式两边同乘以 $(x+2)$ 不改变符号，得： $b\le x(x+2)⟹b\le x^2+2x$

设 $g(x)=x^2+2x$，考虑到 $x>-1$， 其对称轴为 $x=-1$，因而在区间 $(-1,+\infty )$ 上，$g(x)$ 是严格单调递增的。 当 $x\to -1$ 时，$g(x)\to (-1{)}^2+2(-1)=-1$。 因为 $x>-1$，所以 $g(x)>-1$ 恒成立。

要使得 $b\le g(x)$ 在 $x\in (-1,+\infty )$ 上恒成立，参数 $b$ 必须小于或等于 $g(x)$ 的下确界， 即： $b\le -1$

经检验，当 $b=-1$ 时，$f^{\prime }(x)=0$ 仅在 $x=-1$ 边界处取得，在区间内不恒为零，符合题意。 所以 $b$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1]$。

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数单调递减对应的充要条件是 $f^{\prime }(x)\le 0$（且不恒为零）。
2. 核心方法：分离参数法。把恒成立不等式转化为 $b\le [g(x){]}_{\min }$。
3. 避坑指南：容易混淆“单调递减”与“导数小于零”的关系。单调递减允许导数在极个别孤立点处等于 0，所以等号可以取到；另外在分析 $g(x)=x^2+2x$ 时，由于区间为开区间 $x>-1$，其临界值 $-1$ 虽取不到，但作为边界下限，等号依旧可以被 $b$ 获得，容易误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是导数工具考查单调性参数范围的标准题型，结合了多项式与对数函数，属于二轮复习中微积分与不等式交汇的常规题。
2. 结论推广: 若函数 $f(x)=-\frac{1}{2}{x}^2+b\ln (x+c)$ 在 $(1-c,+\infty )$ 上单调递减，则参数 $b$ 的取值范围满足 $b\le 1-c$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值