2008-湖北卷理-08 单-导数

本题导读

本题考查函数极限存在的条件与极限的计算。核心在于通过分母趋于0时分子必趋于0的特征确定常数 $a$，再利用导数定义或二项式展开求出 $b$。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 已知 $m\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，$a,b\in \mathbf{R}$，若 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^m+a}{x}=b$，则 $a\cdot b=$ ()

A. $-m$　　　　　　　B. $m$　　　　　　　C. $-1$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 观察极限形式，当 $x\to 0$ 时分母趋于 0。若极限存在且为有限常数 $b$，则分子必趋于 0，由此建立方程求出 $a$。
2. 将 $a$ 代入原式，将极限结构转化为关于函数 $f(t)=t^m$ 在 $t=1$ 处的导数定义形式，从而求出 $b$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 ${\lim }_{x\to 0}x=0$ 且 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^m+a}{x}=b$， 所以必有 ${\lim }_{x\to 0}[(1+x{)}^m+a]=0$。 代入 $x=0$ 得：$1^m+a=0⟹a=-1$。

将 $a=-1$ 代入原极限式中得： $b={\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^m-1}{x}$

根据导数的定义，设 $f(t)=t^m$，则 $f^{\prime }(1)={\lim }_{x\to 0}\frac{f(1+x)-f(1)}{x}={\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^m-1}{x}$。 又由导数公式得 $f^{\prime }(t)=m{t}^{m-1}$，所以 $f^{\prime }(1)=m\cdot 1^{m-1}=m$。 由于 $b=f^{\prime }(1)$，故 $b=m$。

所以 $a\cdot b=(-1)\times m=-m$。 正确答案为：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分数形式极限存在的必要条件（“分母趋于0，分子必趋于0”）；导数的瞬时变化率几何意义。
2. 核心方法：构造导数定义模型法；亦可使用二项式定理将 $(1+x{)}^m$ 展开消去常数项后求极限。
3. 避坑指南：容易混淆极限的概念，在分子部分忘记代入 $x=0$ 导致无法求解 $a$；本题不建议盲目使用洛必达法则，直接使用导数定义或二项式展开更为严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高等数学中极限基本性质与微积分导数起始定义的交汇考查，属于微积分初步常考题型。
2. 结论推广: 对于任意实数 $\alpha$，均有 ${\lim }_{x\to 0}\frac{(1+x{)}^{\alpha }-1}{x}=\alpha$，这常作为高等数学中求等价无穷小的基础公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值