2008-湖北卷理-10 单-椭圆

本题导读

本题是一道高情境的航天科技背景题，考查圆锥曲线的几何要素关系。解题的关键在于通过图形识别出三个轨道的共同切点 $P$ 处到公共焦点 $F$ 距离保持守恒，从而建立代数式进行比较。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 $P$ 变轨进入以月球球心 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道 I 绕月飞行，之后卫星在 $P$ 点第二次变轨进入仍以 $F$ 为一个焦点的椭圆轨道 II 绕月飞行，最终卫星在 $P$ 点第三次变轨进入以 $F$ 为圆心的圆形轨道 III 绕月飞行.若用 $2 c_{1}$ 和 $2 c_{2}$ 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的焦距，用 $2 a_{1}$ 和 $2 a_{2}$ 分别表示椭圆轨道 I 和 II 的长轴的长，给出下列式子： ① $a_{1} + c_{1} = a_{2} + c_{2}$ ; ② $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ ; ③ $c_{1} a_{2} > a_{1} c_{2}$ ; ④ $\frac{c _{1}}{a _{1}} < \frac{c _{2}}{a _{2}}$ . 其中正确式子的序号是 ()

A. ①③　　　　　　　B. ②③　　　　　　　C. ①④　　　　　　　D. ②④

🔍【思路分析】

破题导航

分析图形特征：点 $P$ 是三个轨道的公共相切点。轨道 III 是以 $F$ 为圆心的圆，这意味着线段 $P F$ 的长度即为该圆的半径 $R$ 。

确定几何要素表达式：对于以 $F$ 为焦点的两个椭圆轨道 I 和 II， $P$ 点均是距离焦点 $F$ 最近的顶点（近月点）。因此，焦点到近顶点的距离满足恒等式 $P F = a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2} = R$ ，由此直接判定②的真伪。

比较离心率大小：由大图易知长轴 $a_{1} > a_{2}$ ，借助代数变形或通分比较 $\frac{c _{1}}{a _{1}}$ 与 $\frac{c _{2}}{a _{2}}$ 的大小，进而确定③和④的正确性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由图可知，点 $P$ 是轨道 I、II、III 的交点，焦点 $F$ 为月球球心。圆形轨道 III 的半径为 $P F$ 。椭圆轨道 I 与轨道 II 分别以 $F$ 为其一个焦点，且 $P$ 为它们的近月点。根据椭圆的几何性质，焦点到最近顶点的距离为 $a - c$ 。因为它们拥有共同的近月点 $P$ 和共同的焦点 $F$ ，所以距离 $P F$ 恒定，即： $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2} = P F$ 由此可知式子 ② 正确，① 错误。

由图显见，椭圆轨道 I 的范围大于轨道 II，即长轴长 $a_{1} > a_{2}$ 。由 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ 移项得： $a_{1} - a_{2} = c_{1} - c_{2} > 0 ⟹ c_{1} > c_{2}$

下面比较离心率 $e_{1} = \frac{c _{1}}{a _{1}}$ 与 $e_{2} = \frac{c _{2}}{a _{2}}$ 的大小。设 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2} = d$ ( $d > 0$ )，则 $c = a - d$ 。离心率可表示为： $e = \frac{c}{a} = \frac{a - d}{a} = 1 - \frac{d}{a}$ 因为 $a_{1} > a_{2} > 0$ ，所以 $\frac{d}{a _{1}} < \frac{d}{a _{2}}$ 。进而得 $1 - \frac{d}{a _{1}} > 1 - \frac{d}{a _{2}}$ ，即 $e_{1} > e_{2}$ 。

展开得： $\frac{c _{1}}{a _{1}} > \frac{c _{2}}{a _{2}} ⟹ c_{1} a_{2} > a_{1} c_{2}$ 由此可知式子 ③ 正确，④ 错误。

综上所述，正确的式子序号是 ②③。正确答案为：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点到顶点的最大距离（远点 $a + c$ ）与最小距离（近点 $a - c$ ）；离心率大小的定性双重比较。

核心方法：变量代换法。将 $c$ 统一转化为 $a - d$ 可以把双变量问题转化为关于 $a$ 的单变量单调性问题。

避坑指南：容易将焦点到顶点的最近距离误记为 $a$ ，导致无法列出 $a_{1} - c_{1} = a_{2} - c_{2}$ 的等式；另外在比较分式大小时，切不可由于 $c_{1} > c_{2}$ 且 $a_{1} > a_{2}$ 就盲目主观断定分子分母同大无法比较，必须作差或利用比例规律严格推导。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题结合了 2007 年末我国发射“嫦娥一号”探月卫星的重大时政科技背景，是典型的“新情境、老考点”代表，考查圆锥曲线基本定义的变通建模能力。

结论推广: 凡是共焦点且共用同一个近点的椭圆族，其长轴越大，焦距也越大，同时其离心率 $e$ 也必然越大（即越扁）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

B

类题演练 (Links)

2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积

2009-上海卷理-09 填-椭圆

2009-北京卷文-13 填-椭圆焦点三角形

∑ ( Math )

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2008-湖北卷理-10 单-椭圆

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