2008-湖北卷理-15 填-数列

本题导读

本题考查合情推理中的归纳推理。要求学生通过观察给出的前 6 个高阶自然数幂求和公式的系数规律，进而归纳出一般多项式中特定项系数的通用表达式。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 观察下列等式： ${\sum }_{i=1}^{n}i=\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n$,

${\sum }_{i=1}^n{i}^2=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2+\frac{1}{6}n$,

${\sum }_{i=1}^n{i}^3=\frac{1}{4}{n}^4+\frac{1}{2}{n}^3+\frac{1}{4}{n}^2$,

${\sum }_{i=1}^n{i}^4=\frac{1}{5}{n}^5+\frac{1}{2}{n}^4+\frac{1}{3}{n}^3-\frac{1}{30}{n}^2$,

${\sum }_{i=1}^n{i}^5=\frac{1}{6}{n}^6+\frac{1}{2}{n}^5+\frac{5}{12}{n}^4-\frac{1}{12}{n}^2$,

${\sum }_{i=1}^n{i}^6=\frac{1}{7}{n}^7+\frac{1}{2}{n}^6+\frac{1}{2}{n}^5-\frac{1}{6}{n}^3+\frac{1}{42}{n}^2$,

…

${\sum }_{i=1}^n{i}^k=a_{k+1}{n}^{k+1}+a_k{n}^k+a_{k-1}{n}^{k-1}+a_{k-2}{n}^{k-2}+\cdots +a_{1}n+a_0$,

可以推测，当 $k\ge 2$ ($k\in {\mathbf{N}}^{\ast }$) 时，$a_{k+1}=\frac{1}{k+1}$, $a_k=\frac{1}{2}$, $a_{k-1}=$ $\underline{}$, $a_{k-2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正确理解 $a_{k-1}$ 和 $a_{k-2}$ 的几何含义：它们分别代表展开多项式中 $n^{k-1}$ 项与 $n^{k-2}$ 项的系数。
2. 依次提取 $k=2,3,4,5,6$ 时该项对应的具体系数值，寻找其与次数 $k$ 的代数关联从而写出通项。

✅【答案】

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$k$

✍【详细解析】

Abstract

根据题干中给出的展开式，我们需要推测 $a_{k-1}$（即 $n^{k-1}$ 的系数）和 $a_{k-2}$（即 $n^{k-2}$ 的系数）：

• 针对 $a_{k-1}$ 的规律分析：

• 当 $k=2$ 时，$n^{k-1}=n^1$，其系数为 $\frac{1}{6}=\frac{2}{12}$；

• 当 $k=3$ 时，$n^{k-1}=n^2$，其系数为 $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$；

• 当 $k=4$ 时，$n^{k-1}=n^3$，其系数为 $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$；

• 当 $k=5$ 时，$n^{k-1}=n^4$，其系数为 $\frac{5}{12}$；

• 当 $k=6$ 时，$n^{k-1}=n^5$，其系数为 $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$。 归纳可得，对任意 $k\ge 2$，$n^{k-1}$ 的系数均满足 $a_{k-1}=\frac{k}{12}$。

• 针对 $a_{k-2}$ 的规律分析：

• 当 $k=2$ 时，$n^{k-2}=n^0$，多项式中无常数项，系数为 $0$；

• 当 $k=3$ 时，$n^{k-2}=n^1$，多项式中没有 $n^1$ 项，系数为 $0$；

• 当 $k=4$ 时，关注 $n^{k-2}=n^2$ 的项，图像中虽然印刷为 $-\frac{1}{30}{n}^2$（实际数学公式中应为 $-\frac{1}{30}n$），但对比其余各项：

• 当 $k=5$ 时，$n^{k-2}=n^3$，展开式中没有 $n^3$ 项，系数为 $0$；

• 当 $k=6$ 时，$n^{k-2}=n^4$，展开式中没有 $n^4$ 项，系数为 $0$。 由绝大多数项均为 0 的强特征可以归纳推测出，该位置对应的系数恒为 $0$。

正确答案为：$\frac{k}{12}$；0

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：合情推理之归纳推理（从特殊到一般的推理方法）。
2. 核心方法：横向对比与纵向对齐法，将繁琐的多项式系数按同阶项提取出来进行数列化分析。
3. 避坑指南：本题难点在于寻找 $a_{k-2}$ 的规律，由于题目中 $k=4$ 这一行的末项存在印刷扰动，必须通过多组数据（如 $k=3,5,6$）中该项缺失（系数为0）的普遍特征来果断判定归纳结果为 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题具有极高的数学背景，源于数论与组合数学中的福尔哈伯公式 (Faulhaber’s formula) 与 伯努利数 (Bernoulli numbers)。
2. 结论推广: 自然数幂和多项式中，非零项的分布与伯努利数 $B_j$ 息息相关。由于所有大于 1 的奇数阶伯努利数 $B_3,B_5,B_7\dots$ 恒等于 0，这导致了多项式中某些特定奇数间隔的项（如本题中的 $a_{k-2}$ 项）系数必然恒等于 0。

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