2009-北京卷理-14 填-数列

本题导读

本题考查数列的递推关系、数列的周期性与奇偶性，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 满足: $a_{4n-3}=1,a_{4n-1}=0,a_{2n}=a_n,n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则 $a_{2009}=$ $\underline{}$; $a_{2014}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：分析 2009 的数字特征。通过除以 4 判定其属于 $4n-3$、 $4n-1$ 还是偶数结构，直接对号入座求出 $a_{2009}$。
2. 第二步：分析 2014 的数字特征。因为 2014 是偶数，利用递推式 $a_{2n}=a_n$ 将其项数减半变为 $a_{1007}$，再分析 1007 模 4 的余数确定其最终归属值。

点击查看答案

$1$；$0$

✍【详细解析】

Abstract

解： ① 对于计算 $a_{2009}$： 考察项数 2009：因为 $2009=4\times 502+1=4\times 503-3$， 它符合 $4n-3$ 的形式（此时 $n=503$）。 根据已知条件 $a_{4n-3}=1$，直接得出： $a_{2009}=1$

② 对于计算 $a_{2014}$： 考察项数 2014：因为 2014 是偶数，利用递推性质 $a_{2n}=a_n$，可得： $a_{2014}=a_{2\times 1007}=a_{1007}$ 接下来考察奇数 1007：因为 $1007=4\times 252-1$， 它符合 $4n-1$ 的形式（此时 $n=252$）。 根据已知条件 $a_{4n-1}=0$，直接得出： $a_{1007}=0$ 所以 $a_{2014}=0$。

填空答案：1；0

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：数列项数模 4 的余数分类模型；偶数项的递归降维变换。
2. 核心方法：逆向递归收拢法。
3. 避坑指南：切忌盲目从 $a_1,a_2,a_3$ 逐项往后硬推，这类高项数求值题必然蕴含着周期性或二进位缩放规律，找准项数与 4 的倍数关系是唯一的破题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题具有计算机科学中“二进制位运算与串行递归”的数学背景，在高考中简化为项数的数字特征分类考查。
2. 结论推广：形如 $a_{2n}=a_n$ 的数列性质意味着：任何一个项数的值，完全取决于将其反复除以 2 直到变成奇数后，该奇数模 4 的余数形态。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-02 填-数列极限
• 2011-上海卷文-23 解-数列交并分组求和
• 2011-上海卷理-18 单-等比数列