2008-湖北卷理-19 解-双曲线

本题导读

本题考查解析几何中双曲线方程的求解以及直线与双曲线相交的弦长、面积综合问题。第一问利用轨迹定义与待定系数法确定方程；第二问通过联立方程，借助韦达定理和面积不等式锁定斜率范围。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 如图，在以点 $O$ 为圆心，$|AB|=4$ 为直径的半圆 $ADB$ 中，$OD\perp AB$，$P$ 是半圆弧上一点，$\angle POB=30^{\circ }$，曲线 $C$ 是满足 $||MA|-|MB||$ 为定值的动点 $M$ 的轨迹，且曲线 $C$ 过点 $P$.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线 $C$ 的方程；

(2)设过点 $D$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 相交于不同的两点 $E,F$.若 $\Delta OEF$ 的面积不小于 $2\sqrt{2}$，求直线 $l$ 斜率的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：以 $O$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立平面直角坐标系。由绝对值之差为定值的几何特征判定轨迹为双曲线，代入已知点 $P$ 坐标求出方程。
2. 第二问：写出点 $D$ 坐标并设出直线 $l$ 的点斜式方程。将直线与双曲线方程联立，利用判别式保证两个不同交点。利用韦达定理表示出三角形底边弦长，由面积不等式逆向求解斜率参数区间。

✅【答案】

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所以𝑘2 ⩽2

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 以 $O$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$OD$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 因为 $|AB|=4$，所以半圆半径 $R=2$。 则各关键点坐标为：$A(-2,0)$，$B(2,0)$，$D(0,2)$。 因为 $\angle POB=30^{\circ }$ 且 $P$ 在半圆弧上，故 $P\left(2\cos 30^{\circ },2\sin 30^{\circ }\right)=(\sqrt{3},1)$。

由双曲线的定义，动点 $M$ 满足 $||MA|-|MB||=\text{定值}$，且以 $A,B$ 为焦点， 设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）。 由于半焦距 $c=2$，则 $b^2=c^2-a^2=4-a^2$。 将 $P(\sqrt{3},1)$ 代入方程得： $\frac{3}{a^2}-\frac{1}{4-a^2}=1⟹3(4-a^2)-a^2=a^2(4-a^2)$ 化简得：$a^4-8a^2+12=0⟹(a^2-2)(a^2-6)=0$。 因为 $a^2<c^2=4$，所以 $a^2=2$（$a^2=6$ 舍去）。 进而得 $b^2=4-2=2$。

故曲线 $C$ 的方程为： $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}=1$

(2)解： 由题意，过点 $D(0,2)$ 的直线 $l$ 斜率显然存在，设其方程为 $y=kx+2$。 联立直线与双曲线方程： $\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ x^2-y^2=2\end{array}⟹x^2-(kx+2{)}^2=2⟹(1-k^2)x^2-4kx-6=0$ 因为直线与双曲线交于不同的两点 $E,F$，则满足： $\{\begin{array}{l}1-k^2\ne 0\\ \Delta =(-4k{)}^2-4(1-k^2)(-6)=24-8k^2>0\end{array}⟹k^2<3\text{ 且 }{k}^2\ne 1$

设 $E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)$，由韦达定理得： $x_1+x_2=\frac{4k}{1-k^2},x_1{x}_2=\frac{-6}{1-k^2}$

$\Delta OEF$ 的面积可选择以 $OD$ 为底边，则： $S=\frac{1}{2}|OD|\cdot |x_1-x_2|=\frac{1}{2}\times 2\times |x_1-x_2|=|x_1-x_2|$ 根据弦长变形公式： $|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}=\sqrt{\frac{16k^2}{(1-k^2{)}^2}-\frac{-24}{1-k^2}}=\frac{\sqrt{24-8k^2}}{|1-k^2|}$

由条件 $S\ge 2\sqrt{2}$ 得： $\frac{\sqrt{24-8k^2}}{|1-k^2|}\ge 2\sqrt{2}⟹\frac{24-8k^2}{(1-k^2{)}^2}\ge 8⟹3-k^2\ge (1-k^2{)}^2$ 展开化简得： $k^4-k^2-2\le 0⟹(k^2-2)(k^2+1)\le 0$ 因为 $k^2+1>0$ 恒成立，所以 $k^2-2\le 0⟹k^2\le 2$。

综合先前判别式约束 $k^2<3$ 且 $k^2\ne 1$，最终关于斜率的要求为： $k^2\le 2\text{ 且 }{k}^2\ne 1$ 解得 $k\in [-\sqrt{2},-1)\cup (-1,1)\cup (1,\sqrt{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线第一定义的应用；直线与双曲线相交的常规代数联立模板；三角形面积的横坐标差值表达。
2. 核心方法：底高精简法。计算 $\Delta OEF$ 面积时，若直接把 $EF$ 当底边会导致计算量剧增，而将 $y$ 轴上的线段 $OD$ 视作底，两点横坐标绝对值之差 $|x_1-x_2|$ 视作高，能够极大地精简算式。
3. 避坑指南：解析几何中联立双曲线时，千万不要漏掉二次项系数不为 0（即 $1-k^2\ne 0$）的渐近线临界限制，否则容易遗漏排除 $k=\pm 1$ 的扣除点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是基于圆内接圆锥曲线动点轨迹设计的传统标准解析几何大题，主要考查解析几何二轮复习中关于直线与双曲线位置关系的综合推导。
2. 结论推广: 对于等轴双曲线 $x^2-y^2=a^2$，若过定点 $(0,a)$ 引直线与其相交两点，其围成的原点三角形面积表达式具有极强的对称单调性，可利用超越换元法直接确定面积的最大上界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-08 单-双曲线焦点三角形
• 2010-浙江卷文-10 单-双曲线焦点三角形
• 2012-大纲卷文-10 单-双曲线焦点三角形