2008-湖北卷理-21 解-等比数列

本题导读

本题作为全卷压轴题，综合考查数列的递推关系、等比数列的判定及前 $n$ 项和的有界性问题。第一问利用反证法结合项的邻项关系进行否定判定；第二问通过代数变形构造出相邻项的等比关系，并注意对首项为0的特殊情况进行分类讨论；第三问利用有界性转化，通过分析等比数列前 $n$ 项和的离散最值来确定参数的存在性及其范围。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 满足：$a_1=\lambda$，$a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+n-4$，$b_n=(-1{)}^n(a_n-3n+21)$，其中 $\lambda$ 为实数，$n$ 为正整数.

(1)对任意实数 $\lambda$，证明数列 $\{a_n\}$ 不是等比数列；

(2)试判断数列 $\{b_n\}$ 是否为等比数列，并证明你的结论；

(3)设 $0<a<b$，$S_n$ 为数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和.是否存在实数 $\lambda$，使得对任意正整数 $n$，都有 $a<S_n<b$？若存在，求 $\lambda$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：运用反证法。假设其为等比数列，则必满足 $a_2^2=a_1{a}_3$，通过计算前三项代入建立关于 $\lambda$ 的方程，若产生恒错的不可能方程，则假设不成立。
2. 第二问：将 $a_{n+1}$ 的递推式代入 $b_{n+1}$ 的表达式中进行整理，寻找 $b_{n+1}$ 与 $b_n$ 的比例系数。同时需要注意当首项 $b_1=0$ 时整个数列退化为常数零数列，不符合等比数列非零的要求，进行分类隔离。
3. 第三问：在 $\{b_n\}$ 为等比数列的前提下，写出其前 $n$ 项和 $S_n$ 的解析式。通过分析项数 $n$ 分别为奇数和偶数时相应代数式的离散单调性，找出 $S_n$ 的最大值与最小值。将其带入夹逼不等式组中，求解出参数 $\lambda$ 的存在边界条件。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 由递推式 $a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+n-4$ 且 $a_1=\lambda$，可得： $a_2=\frac{2}{3}\lambda +1-4=\frac{2}{3}\lambda -3$ $a_3=\frac{2}{3}{a}_2+2-4=\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\lambda -3\right)-2=\frac{4}{9}\lambda -4$

假设数列 $\{a_n\}$ 是等比数列，则必有 $a_2^2=a_1{a}_3$。 代入项的表达式得： ${\left(\frac{2}{3}\lambda -3\right)}^2=\lambda \left(\frac{4}{9}\lambda -4\right)$ 展开化简得： $\frac{4}{9}{\lambda }^2-4\lambda +9=\frac{4}{9}{\lambda }^2-4\lambda ⟹9=0$ 此方程无解，产生矛盾。 故对任意实数 $\lambda$，数列 $\{a_n\}$ 都不是等比数列。

(2)解： 当 $\lambda =-18$ 时，数列 $\{b_n\}$ 不是等比数列；当 $\lambda \ne -18$ 时，数列 $\{b_n\}$ 是等比数列。证明如下：

由题意，计算 $b_{n+1}$ 的表达式： $b_{n+1}=(-1{)}^{n+1}[a_{n+1}-3(n+1)+21]=(-1{)}^{n+1}(a_{n+1}-3n+18)$ 将 $a_{n+1}=\frac{2}{3}{a}_n+n-4$ 代入上式得： $b_{n+1}=(-1{)}^{n+1}\left(\frac{2}{3}{a}_n+n-4-3n+18\right)=(-1{)}^{n+1}\left(\frac{2}{3}{a}_n-2n+14\right)$ $=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{2}{3}(a_n-3n+21)$

因为 $b_n=(-1{)}^n(a_n-3n+21)$，则 $(-1{)}^{n+1}(a_n-3n+21)=-b_n$。 所以对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，恒有： $b_{n+1}=-\frac{2}{3}{b}_n$

计算首项：$b_1=(-1{)}^1(a_1-3\times 1+21)=-(\lambda +18)$。

• ① 当 $\lambda =-18$ 时，$b_1=0$，则对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 均有 $b_n=0$，该数列的所有项均为0，根据等比数列各项不能为0的定义，此时 $\{b_n\}$ 不是等比数列。
• ② 当 $\lambda \ne -18$ 时，$b_1\ne 0$，由 $\frac{b_{n+1}}{b_n}=-\frac{2}{3}$ 可知，$\{b_n\}$ 是以 $-(\lambda +18)$ 为首项，$-\frac{2}{3}$ 为公比的等比数列。

(3)解： 由(2)知，当 $\lambda =-18$ 时，$b_n=0$，则 $S_n=0$。而已知 $0<a<b$，不满足 $a<S_n<b$，故必有 $\lambda \ne -18$。 此时 $\{b_n\}$ 是等比数列，首项 $b_1=-(\lambda +18)$，公比 $q=-\frac{2}{3}$。 其前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式为： $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{-(\lambda +18)\left[1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right]}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=-\frac{3}{5}(\lambda +18)\left[1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right]$

令 $A=-\frac{3}{5}(\lambda +18)$。因为 $\lambda \ne -18$，所以 $A\ne 0$。 则 $S_n=A\left[1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right]$。 由于 $0<a<S_n<b$，且对任意 $n$，项 $\left[1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n\right]>0$ 恒成立，因此必有 $A>0$。

下面分析构造项 $k_n=1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^n$ 的有界临界值：

• 当 $n$ 为奇数时，$k_n=1+{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$，随着 $n$ 增大而递减。当 $n=1$ 时取得最大值 $k_1=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$；
• 当 $n$ 为偶数时，$k_n=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^n$，随着 $n$ 增大而递增。当 $n=2$ 时取得最小值 $k_2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$。

由于 $A>0$，要使得对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都有 $a<S_n<b$ 恒成立，只需其动态的最大值小于 $b$，最小值大于 $a$： $\{\begin{array}{l}{S}_{n\text{, min}}=S_2=\frac{5}{9}A>a\\ S_{n\text{, max}}=S_1=\frac{5}{3}A<b\end{array}⟹\{\begin{array}{l}A>\frac{9}{5}a\\ A<\frac{3}{5}b\end{array}⟹\frac{9}{5}a<A<\frac{3}{5}b$

由于参数 $A$ 存在，必须满足边界区间合法，即 $\frac{9}{5}a<\frac{3}{5}b⟹b>3a$。

• 当 $b\le 3a$ 时，不存在这样的实数 $\lambda$。
• 当 $b>3a$ 时，存在满足条件的实数 $\lambda$，将 $A=-\frac{3}{5}(\lambda +18)$ 代入不等式中： $\frac{9}{5}a<-\frac{3}{5}(\lambda +18)<\frac{3}{5}b⟹3a<-(\lambda +18)<b$ $⟹-b<\lambda +18<-3a⟹-b-18<\lambda <-3a-18$

结论归纳：

• 当 $b\le 3a$ 时，不存在满足条件的实数 $\lambda$；
• 当 $b>3a$ 时，存在满足条件的实数 $\lambda$，其取值范围为 $(-b-18,-3a-18)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列严格判定（首项不能为0，比值不能为0）；摆动型等比数列前 $n$ 项和的奇偶离散图象最值特征。
2. 核心方法：主元参数构造法。通过引入中间整体变量 $A$，将含有多重参变量的复合有界性问题，拆解为纯数字项极限界限与单参数的简单线性不等式组。
3. 避坑指南：

• 第二问判定等比数列时，绝大多数考生易遗漏首项 $b_1=0$ 即 $\lambda =-18$ 的扣除情况，导致整个定理判定流程不严密。
• 第三问在求出 $A$ 的取值区间后，务必对区间端点的合法性（左端点必须小于右端点，即 $3a<b$）进行先决分类，若直接写出 $\lambda$ 的范围而未对 $a,b$ 的相对大小关系进行界定，属于重大逻辑不严密失分项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是标准的常系数非齐次线性递推数列构造问题（一阶差分方程）。通过减去一个特定的一阶多项式特征解（本题中为 $3n-21$），实现非齐次项 $n-4$ 的完全吸收与齐次化。
2. 结论推广: 对于任何递推关系 $a_{n+1}=q{a}_n+f(n)$，其中 $f(n)$ 为关于 $n$ 的一次多项式，均可通过待定系数法构造新数列 $A_n=a_n-(An+B)$，使其转化为标准的等比数列。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和