2008-湖南卷文-03 单-线性规划最小值

本题导读

由 $x⩾1$、$x⩽y⩽2$，顶点 $(1,1)$、$(1,2)$、$(2,2)$，$x+y$ 最小为 $2$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 已知变量 $x$，$y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x⩾1,\\ y⩽2,\\ x-y⩽0,\end{array}$则 $x+y$ 的最小值是()

A. $4$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $1$

🔍【思路分析】

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$x-y⩽0$ 即 $x⩽y$，可行域顶点 $(1,1)$、$(1,2)$、$(2,2)$，逐点代入 $x+y$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

约束条件即 $x⩾1$，$y⩽2$，$y⩾x$. 可行域是以 $(1,1)$、$(1,2)$、$(2,2)$ 为顶点的三角形区域. $x+y$ 在顶点处的值分别为 $2$、$3$、$4$，最小值为 $2$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求最值

核心方法：画可行域找顶点，目标函数在顶点处比较

避坑指南：$x-y⩽0$ 即 $y⩾x$，可行域在直线 $y=x$ 上方；最小值在 $(1,1)$ 处，别把 $x=1$ 与 $y⩽2$ 的交点漏掉

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划章节的常规最值题

结论推广：顶点代入法对线性目标函数永远有效

方法推广：约束条件含 $x-y⩽0$ 这类”隐方向”不等式，先改写成 $y⩾x$ 看清可行域再画图

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-14 填-线性规划含参
• 2013-湖南卷文-13 填-线性规划最值
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• 2012-湖南卷文-12 填-一元二次不等式解集