2008-湖南卷文-09 单-长方体外接球距离

本题导读

$2R=\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2+1^2}=2\sqrt{2}$，$R=\sqrt{2}$；$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，$\theta =\frac{\pi }{2}$，弧长 $=R\theta =\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 的 $8$ 个顶点在同一个球面上，且 $AB=2$，$AD=\sqrt{3}$，$A{A}_1=1$，则顶点 $A$、$B$ 间的球面距离是()

A. $\frac{\sqrt{2}\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}\pi$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

外接球直径 = 体对角线 $\sqrt{8}$，$R=\sqrt{2}$；弦长 $AB=2$，圆心角 $\theta =2\arcsin \frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\pi }{2}$.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

长方体外接球的直径等于体对角线：$2R=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2+A{A}_1^2}=\sqrt{4+3+1}=2\sqrt{2}$，$R=\sqrt{2}$. 设球心为 $O$，$OA=OB=R$，$△OAB$ 中弦 $AB=2$. 由 $\sin \frac{\angle AOB}{2}=\frac{AB}{2R}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，得 $\frac{\angle AOB}{2}=\frac{\pi }{4}$，$\angle AOB=\frac{\pi }{2}$. $A$、$B$ 间的球面距离（大圆弧长）$=R\angle AOB=\sqrt{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体的外接球与球面距离

核心方法：体对角线 = $2R$；球面距离 = $R\times$ 圆心角，圆心角由弦长一半与 $R$ 的正弦求出

避坑指南：球面距离是大圆弧长不是弦长；$\sin \frac{\theta }{2}=\frac{AB}{2R}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 给 $\theta =\frac{\pi }{2}$，别写成 $\theta =\frac{\pi }{4}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多面体外接球与球面距离的综合题

结论推广：长方体外接球直径 = 体对角线是万能入口；球面距离 = 半径 × 圆心角

方法推广：球面距离问题先求 $R$ 与弦长，再用等腰三角形求圆心角；弧长公式 $l=R\theta$ 中 $\theta$ 用弧度

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-08 单-内切球
• 2011-湖北卷文-07 单-球与内接正方体
• 2010-湖北卷文-14 填-圆柱内切球体积
• 2012-湖北卷理-04 单-三视图识别