2012-湖北卷理-04 单-三视图识别

本题导读

本题考查空间几何体的三视图投影识别，以及柱体的结构特征与体积计算。

📌【题干】

Question

（2012年湖北卷(理)）

已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()

A. $\frac{8\pi }{3}$　　　　　　　B. $3\pi$　　　　　　　C. $\frac{10\pi }{3}$　　　　　　　D. $6\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 精准还原直观图结构：

• 俯视图是一个标准的圆形，说明该几何体的垂直主体是一个以圆为底面的柱体结构；

• 正视图是一个直角梯形，左侧高为 2，右侧高为 4，底宽为 2，上底边倾斜，说明它是一个完整的圆柱被一个与之轴线相交的倾斜平面所截断得到的斜截圆柱。

2. 提取核心几何特征量：

• 由俯视图和侧视图可知，圆柱底面圆的直径 $2R=2⟹$ 底面半径 $R=1$。

• 由正视图可知，该斜截圆柱的母线最长处为 $H_{\max }=4$，最短处为 $H_{\min }=2$。

3. 空间割补对称快速得出（解法一）：想象将两个一模一样的该斜截圆柱“正反颠倒”垂直拼接，其倾斜截面可以完美的合缝拼接，组合成一个标准的、高为 $4+2=6$ 的规整大圆柱。求出大圆柱体积后直接除以 2 即可。

4. 组合体分段代数求解（解法二）：将几何体横向切开，下半部分视为高为 2 的标准直圆柱，上半部分视为高为 $4-2=2$ 的标准斜截圆柱（体积恰好等于相同高直圆柱的一半），两部分体积相加。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：空间倒置割补法（最优解）

第一步：由三视图提取基本量

观察三视图，俯视图为圆，直径为 2，可知该几何体的底面是一个圆，其半径 $R$ 为：

$2R=2⟹R=1$

其底面积 $S$ 为：

$S=\pi R^2=\pi \times 1^2=\pi$

第二步：割补拼凑规整圆柱

由正视图可知，该几何体是一个斜截圆柱，其左侧侧母线长为 2，右侧侧母线长为 4。

我们在脑海中复制一个与该几何体完全相同的全等几何体，并将复制出的几何体上下颠倒（倒置）。

将这两个几何体的倾斜切面进行对齐、贴合拼凑：

• 原几何体高为 2 的最矮侧恰好与新几何体高为 4 的最高侧对齐拼接，总高度变为 $2+4=6$；

• 原几何体高为 4 的最高侧恰好与新几何体高为 2 的最矮侧对齐拼接，总高度变为 $4+2=6$。

由于截面是完全对偶的平整斜面，这两个几何体拼接后，在顶部和底部均能形成完美的水平面。

它们在空间中完美组合成了一个标准的、完整的直圆柱体。

该组合大圆柱的底面半径依然为 $R=1$，而其总高度 $H$ 为：

$H=2+4=6$

第三步：计算体积

计算出拼凑成的规整直圆柱的总体积 $V_{\text{总}}$：

$V_{\text{总}}=S\cdot H=\pi \times 1^2\times 6=6\pi$

因为该直圆柱是由两个体积完全相等的斜截圆柱拼凑而成的，所以原几何体的体积 $V$ 恰好等于总高度体积的一半：

$V=\frac{1}{2}{V}_{\text{总}}=\frac{1}{2}\times 6\pi =3\pi$

故选 B

解法二：组合体分段代数法

我们也可以将该几何体沿高度 $h=2$ 处进行水平横向切分：

• 下半部分：是一个标准的直圆柱，底面半径 $R=1$，高 $h_1=2$。

其体积 $V_1$ 为：

$V_1=\pi R^2{h}_1=\pi \times 1^2\times 2=2\pi$

• 上半部分：是一个柱高从 0 均匀倾斜上升到 2（ $4-2=2$ ）的斜截圆柱。

根据中心对称性，这个斜截柱体的体积严格等于一个高为 2 的标准整圆柱体积的二分之一。

其体积 $V_2$ 为：

$V_2=\frac{1}{2}\left(\pi R^2\cdot (4-2)\right)=\frac{1}{2}\times (\pi \times 1^2\times 2)=\pi$

将上下两部分的体积求和，得到该几何体的总体积为：

$V=V_1+V_2=2\pi +\pi =3\pi$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由三视图准确识别旋转体的空间构型、斜截圆柱体的体积计算方法。

2. 核心方法：中心对称平均母线长法。对于任意一个标准的斜截圆柱体，其各条侧母线的长度呈轴对称线性均匀分布。因此，在求解体积时，可以直接引入**“平均母线长定理”**，即：

$V=S_{\text{底}}\times \bar{H}=S_{\text{底}}\times \frac{H_{\max }+H_{\min }}{2}$

本题中直接带入： $V=(\pi \times 1^2)\times \frac{4+2}{2}=\pi \times 3=3\pi$。利用此二级结论，可以在 实现快速得出。

3. 避坑指南：

• 掉入圆锥组合体的错误主观判定：如原题有毒解析所示，千万不能因为看到侧视图上方有个圆圈就盲目把上部当成圆锥。圆锥的轴向投影必然带有突出的顶点拐角，而圆柱斜截面在侧面的投影由于旋转对称性，其边缘线段依然保持铅直。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中空间几何体三视图与体积计算的章末压轴选择题。

2. 结论推广:

• 斜截体体积有界收敛通用模型：对于任意一个标准规整的柱体（包括圆柱、正棱柱），若其底面积为 $S$，被一个非平行的倾斜平面所截断。

• 只要该截面关于柱体的中心轴线具备几何对称性（即最高侧母线 $H_{\max }$ 与最低侧母线 $H_{\min }$ 互为补角对偶）。

• 则该斜截柱体的代数总体积恒满足高度一致的二级结论快捷公式：

$$V_{\text{斜截柱}} = S \cdot \frac{H_{\max} + H_{\min}}{2}$$

• 掌握这一对称母线均值模型，不仅能在面对任何复杂的立体几何三视图小题时做到落笔即对，更能深刻体会到空间几何中“割补转化、对称守恒”的数形结合美感。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷理-05 单-由直观图确定三视图

• 2005-全国卷III理-04 单-棱柱与棱锥的体积公式

• 2013-浙江卷理-12 填-三视图还原