2008-湖南卷理-20 解-抛物线

本题导读

本题是一道以抛物线为背景的新定义解析几何题。第一问利用点差法结合垂直平分线过定点的条件，证明弦中点横坐标的定值特性；第二问通过弦长公式建立二次函数模型，并根据对称轴是否在可行域内进行分类讨论以求解最大值。

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(理)） 若 $A,B$ 是抛物线 $y^2=4x$ 上的不同两点，弦 $AB$（不平行于 $y$ 轴）的垂直平分线与 $x$ 轴相交于点 $P$，则称弦 $AB$ 是点 $P$ 的一条“相关弦”.已知当 $x>2$ 时，点 $P(x,0)$ 存在无穷多条“相关弦”.给定 $x_0>2$.

(1)证明：点 $P(x_0,0)$ 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；

(2)试问：点 $P(x_0,0)$ 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用 $x_0$ 表示）；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入抛物线方程利用点差法求出斜率 $k_{AB}$ 与中点纵坐标 $y_M$ 的关系。写出垂直平分线方程并代入 $P(x_0,0)$，可直接解得中点横坐标 $x_M$ 为常数。
2. 第二问：利用弦长公式将 $AB$ 的长度表示为关于 $y_M^2$ 的函数。结合 $A,B$ 的相异性确定自变量 $y_M^2$ 的开区间范围。针对二次函数的对称轴位置，分 $x_0>3$ 和 $2<x_0\le 3$ 两种情况讨论最大值的存在性。

✅【答案】

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所有“相关弦”的中点横坐标均为𝑥0−2；当𝑥0>3时存在最大弦长，最大值为2(𝑥0−1)，当2<𝑥0⩽3时不存在最大值.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 设“相关弦” $AB$ 的端点为 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，其对应中点为 $M(x_M,y_M)$。 因为 $AB$ 不平行于 $y$ 轴，故斜率 $k\ne 0$。 由于 $A,B$ 在抛物线上，满足： $\{\begin{array}{l}{y}_1^2=4x_1\\ y_2^2=4x_2\end{array}⟹y_1^2-y_2^2=4(x_1-x_2)⟹(y_1-y_2)(y_1+y_2)=4(x_1-x_2)$

由此可得弦 $AB$ 的斜率： $k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{4}{y_1+y_2}=\frac{4}{2y_M}=\frac{2}{y_M}$

则弦 $AB$ 的垂直平分线斜率为 $k_{\perp }=-\frac{1}{k}=-\frac{y_M}{2}$。 其垂直平分线方程为： $y-y_M=-\frac{y_M}{2}(x-x_M)$

因为该直线过点 $P(x_0,0)$，代入得： $0-y_M=-\frac{y_M}{2}(x_0-x_M)$ 由于 $k\ne 0$，则 $y_M\ne 0$，两边同除以 $-y_M$ 得： $1=\frac{1}{2}(x_0-x_M)⟹x_M=x_0-2$ 因为 $x_0$ 为定值，所以中点横坐标 $x_M$ 恒为定值 $x_0-2$。

(2)解： 由(1)可知 $x_1+x_2=2x_M=2(x_0-2)$。 又 $y_1^2+y_2^2=4(x_1+x_2)=8(x_0-2)$。

由此可变形得到： $(y_1-y_2{)}^2=y_1^2+y_2^2-2y_1{y}_2=8(x_0-2)-[(y_1+y_2{)}^2-(y_1^2+y_2^2)]=16(x_0-2)-4y_M^2$ 由于 $A,B$ 是不同的两点，必有 $(y_1-y_2{)}^2>0⟹4y_M^2<16(x_0-2)⟹y_M^2<4(x_0-2)$。 结合 $y_M\ne 0$，可得 $y_M^2$ 的取值范围为 $\left(0,4(x_0-2)\right)$。

设相关弦 $AB$ 的弦长为 $L$，则： $L^2=(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2={\left(\frac{y_1^2-y_2^2}{4}\right)}^2+(y_1-y_2{)}^2={\left(\frac{y_M}{2}\right)}^2(y_1-y_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2$ $L^2=\left(1+\frac{y_M^2}{4}\right)(y_1-y_2{)}^2=\left(1+\frac{y_M^2}{4}\right)\left[16(x_0-2)-4y_M^2\right]=4(4+y_M^2)\left[4(x_0-2)-y_M^2\right]$

令 $u=y_M^2$，其可行域区间为 $u\in \left(0,4(x_0-2)\right)$。 定义函数 $g(u)=4(4+u)\left[4(x_0-2)-u\right]$，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为： $u=\frac{-4+4(x_0-2)}{2}=2x_0-6$

对对称轴位置进行分类讨论：

• 情况①：当 $x_0>3$ 时 此时对称轴 $2x_0-6>0$，且 $2x_0-6<4x_0-8=4(x_0-2)$ 恒成立。 即对称轴 $u=2x_0-6\in \left(0,4(x_0-2)\right)$ 处于可行域开区间内部。 故当 $u=2x_0-6$ 时，$L^2$ 取得最大值： $L_{\max }^2=4(4+2x_0-6)\left[4x_0-8-(2x_0-6)\right]=4(2x_0-2)(2x_0-2)=16(x_0-1{)}^2$ 此时弦长 $L$ 存在最大值，最大值为 $4(x_0-1)$。

• 情况②：当 $2<x_0\le 3$ 时 此时对称轴 $2x_0-6\le 0$，函数 $g(u)$ 在区间 $u\in \left(0,4(x_0-2)\right)$ 上单调递减。 由于其取值区间为开区间，当 $u\to 0$ 时只能无限趋近于上确界而无法取到。 故此时相关弦的弦长不存在最大值。

结论归纳：

• 当 $x_0>3$ 时，弦长存在最大值，最大值为 $4(x_0-1)$；
• 当 $2<x_0\le 3$ 时，弦长不存在最大值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：中点弦代数特征（点差法公式 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2}{y_M}$）；二次函数有界区间最值。
2. 核心方法：主元换元与分类讨论法。
3. 避坑指南：第二问求出关于 $y_M^2$ 的二次函数后，切勿盲目直接令对称轴处取最值。必须精确求解出两相异交点对应的自变量定义域（开区间范围），并依据对称轴是否落入该开区间进行严密的分类讨论，否则将漏掉不存在最大值的特殊区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是基于经典解析几何中“法线过定点”几何定理（即抛物线法线在 $x$ 轴上的截距与中点横坐标差值为定值）进行的新定义高观点包装。
2. 结论推广: 对于任意抛物线 $y^2=2px$，若弦 $AB$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于 $P(x_0,0)$，则其中点的横坐标满足通性公式 $x_M=x_0-p$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-上海卷文-04 填-框图分段函数
• 2009-上海卷文-09 填-抛物线弦长