2008-福建卷文-16 填-数域新定义

本题导读

数域 = 对加减乘除（除数非零）封闭的数集. ①用 $a-a$、$\frac{a}{a}$ 造 0 和 1；②整数集对除法不封闭；③举 $M=\mathbf{Q}\cup \{\sqrt{2}\}$ 的反例；④数域含 0,1 后对加法封闭即无限.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 设 $P$ 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 $a$、$b\in P$，都有 $a+b$、$a-b$、$ab$、$\frac{a}{b}\in P$（除数 $b\ne 0$），则称 $P$ 是一个数域. 例如有理数集 $\mathbf{Q}$ 是数域. 有下列命题： ①数域必含有 0，1 两个数； ②整数集是数域； ③若有理数集 $\mathbf{Q}\subseteq M$，则数集 $M$ 必为数域； ④数域必为无限集. 其中正确的命题的序号是　　　.（把你认为正确的命题的序号都填上）

🔍【思路分析】

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①取 $a=b$ 得 $0=a-a$，取 $a\ne 0$ 得 $1=\frac{a}{a}$，正确；②$1÷2\notin \mathbf{Z}$，错误；③$M=\mathbf{Q}\cup \{\sqrt{2}\}$ 时 $\sqrt{2}+\sqrt{2}\notin M$，错误；④由①数域含 1，对 1 连加得全体正整数都属于数域，正确.

✅【答案】

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①④

✍【详细解析】

Abstract

①任取 $a\in P$，则 $0=a-a\in P$；又 $P$ 至少含两个数，存在 $a\ne 0$，则 $1=\frac{a}{a}\in P$，故①正确. ②整数集 $\mathbf{Z}$ 中 $1÷2=\frac{1}{2}\notin \mathbf{Z}$，对除法不封闭，故②错误. ③取 $M=\mathbf{Q}\cup \{\sqrt{2}\}$，满足 $\mathbf{Q}\subseteq M$，但 $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\notin M$，不是数域，故③错误. ④由①知数域必含 0 与 1，对 1 连续作加法得 $2,3,4,\cdots$ 都在数域内，故数域是无限集，④正确. 综上，正确命题的序号是①④.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义数域与命题判定

核心方法：按定义逐条验证，反例只需举一个

避坑指南：①中 0 与 1 的存在性要用"$a-a$"、"$$\begin{gathered} a \\ diva \end{gathered}$$"构造，别想当然；③的反例 $$\begin{gathered} M= \\ mathbfQ \\ cup \\ sqrt2 \end{gathered}$$ 中 $$\begin{gathered} sqrt2+ \\ sqrt2 \end{gathered}$$ 越界即可否定

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数域题源自近世代数”域”的公理，是高考新定义题的范本（2010 四川文 16 封闭集）

结论推广：可继续追问：数域是否必含 $\mathbf{Q}$？（对 1 连加连除可得）

方法推广：新定义题=按定义验证，构造反例是证伪的唯一手段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2010-福建卷文-12 单-集合新定义命题判定
• 2010-四川卷文-16 填-封闭集新定义
• 2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元
• 2010-安徽卷文-15 填-基本不等式多命题