2009-北京卷文-14 填-新定义孤立元

本题导读

新定义计数。不含孤立元的三元子集必是三个连续整数，即 $\{i,i+1,i+2\}$（$i=1,\dots ,6$），共 $6$ 个。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(文)） 设 $A$ 是整数集的一个非空子集，对于 $k\in A$，如果 $k-1\notin A$ 且 $k+1\notin A$，那么 $k$ 是 $A$ 的一个”孤立元”.给定 $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$，由 $S$ 的 $3$ 个元素构成的所有集合中，不含”孤立元”的集合共有 $\underline{}$个.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三元集合不含孤立元 $⟺$ 每个元素在 $A$ 中都有相邻元素。
2. 三个元素必须构成连续段 $\{i,i+1,i+2\}$（否则端点外无邻居）。
3. $i$ 可取 $1$ 到 $6$，共 $6$ 个。

✅【答案】

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$6$

✍【详细解析】

Abstract

若三元集合 $A$ 不含”孤立元”，则 $A$ 中每个元素的相邻整数都必须在 $A$ 内。 若 $A$ 的三个元素不是连续三个整数，则必有某个元素在 $A$ 中无相邻元素，成为孤立元，矛盾。 故 $A$ 必为 $\{i,i+1,i+2\}$ 的形式，且 $1⩽i⩽6$。 这样的集合共有 $6$ 个：$\{1,2,3\}$，$\{2,3,4\}$，…，$\{6,7,8\}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义与集合计数

核心方法：按”孤立元”定义转化为连续段

避坑指南：三元集合不含孤立元 $⟺$ 三元素两两相邻 $⟺$ 恰为 $\{i,i+1,i+2\}$，共 $6$ 个；漏掉”端点也需邻居”这一步就会数错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：新定义计数题是北京卷特色压轴小题。

结论推广：把文字定义翻译成”每个元素在集合内有相邻整数”再转化。

方法推广：先证必要性（不连续必有孤立元），再数连续段个数 $n-2=6$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2011-福建卷文-12 单-整数分类新定义
• 2012-江苏卷-23 解-集合计数与归纳推理
• 2011-湖南卷文-16 填-新定义函数计数