2008-福建卷理-03 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的基本量计算，通过已知项求出公比，再代入前 $n$ 项和公式求值。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是公比为正数的等比数列，若 $a_1=1,a_5=16$，则数列 $\{a_n\}$ 前 7 项的和为 ()

A. 63　　　　　　B. 64　　　　　　C. 127　　　　　　D. 128

🔍【思路分析】

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1. 利用等比数列通项公式 $a_5=a_1{q}^4$ 求出公比 $q$。
2. 结合公比正负要求确定 $q$ 值，代入前 $7$ 项和公式求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的公比为 $q(q>0)$。 由 $a_5=a_1{q}^4$ 得：$16=1\cdot q^4$，即 $q^4=16$。 因为 $q>0$，所以 $q=2$。 则该数列前 7 项的和为： $S_7=\frac{a_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{1\times (1-2^7)}{1-2}=2^7-1=127$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列通项公式与前 $n$ 项和公式的综合应用。
2. 核心方法：方程思想（知三求二）。
3. 避坑指南：开四次方根时，切勿忽略题目中“公比为正数”的限制条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 源自教材中等比数列基本量运算的典型例题与习题。
5. 结论推广: 在等比数列 $\{a_n\}$ 中，若已知 $a_1$ 和 $a_{2k+1}$ 且 $q>0$，则公比 $q=\sqrt[2k]{\frac{a_{2k+1}}{a_1}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-23 解-等比数列
• 2009-北京卷理-20 解-等比数列
• 2009-北京卷文-10 填-等比数列求和