2008-福建卷理-12 单-导数

本题导读

本题是一道精彩的导数与函数图象识别交汇的创新压轴单选题。需要通过导函数的正负、单调性反推原函数的单调性、凹凸性以及两函数图象之间的相对距离变化。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 已知函数 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 的导函数的图象如下图所示，那么 $y=f(x)$，$y=g(x)$ 的图象可能是 ()

🔍【思路分析】

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1. 分析单调性与凹凸性：由导数图象可知 $f^{\prime }(x)>0$ 且单调递减，说明 $f(x)$ 严格单调递增且图象上凸（增长变缓）；$g^{\prime }(x)>0$ 且单调递增，说明 $g(x)$ 严格单调递增且图象下凸（增长变快）。
2. 分析两图象间距变化：构造差函数 $F(x)=g(x)-f(x)$，通过 $F^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)$ 的符号判断 $g(x)$ 与 $f(x)$ 垂直距离的变化趋势。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由导函数图象可知，当 $x>0$ 时： $f^{\prime }(x)>0$ 且 $f^{\prime }(x)$ 单调递减，故 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，且曲线向下弯曲（凹对数型或上凸）； $g^{\prime }(x)>0$ 且 $g^{\prime }(x)$ 单调递增，故 $y=g(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，且曲线向上弯曲（凹指数型或下凸）。 由此可排除 A、C（A、C 中 $f(x)$ 均下凸）。

进一步观察两函数图象的相对位置，设差函数 $F(x)=g(x)-f(x)$，其导数为 $F^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)-f^{\prime }(x)$。 由导数图象可知： 当 $x\in (0,x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x)⟹F^{\prime }(x)<0$，此时 $F(x)$ 单调递减； 当 $x\in (x_0,+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<g^{\prime }(x)⟹F^{\prime }(x)>0$，此时 $F(x)$ 单调递增。 在 $x=x_0$ 处，$f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)⟹F^{\prime }(x_0)=0$，此时 $F(x)$ 取得极小值。

结合选项 B 和 D： 在选项 D 中，$g(x)$ 始终在 $f(x)$ 的上方，垂直距离 $F(x)=g(x)-f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上递减，在 $(x_0,+\infty )$ 上递增，在 $x=x_0$ 处两曲线距离最近且切线平行，符合题意。 而在选项 B 中，$f(x)$ 在 $g(x)$ 上方，且在 $x=x_0$ 处两条曲线的切线显然不平行（一个极陡，一个极缓）。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数大小决定原函数增长的快慢（切线斜率）；导函数的增减性决定原函数的凹凸弯曲方向。
2. 核心方法：差函数法。处理两个函数图象相对位置和距离的问题时，构造 $F(x)=g(x)-f(x)$ 是最本质的代数工具。
3. 避坑指南：容易忽略 $x=x_0$ 时 $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)$ 的几何意义，即在此处两函数的图象切线必须相互平行。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 本题是典型的“以导数图象为载体考查原函数性质”的推理题，考查了高等数学中微积分关于一阶导数（单调性）与二阶导数（凹凸性）的核心物理图形背景。
5. 结论推广: 若 $f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)$，则在 $x=x_0$ 处函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的图象的切线平行。若两函数图象在此处相交，则它们相切。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-19 解-偶函数与导数
• 2010-安徽卷文-20 解-三角函数导数单调极值
• 2010-重庆卷文-19 解-奇函数导数最值