2008-辽宁卷文-02 单-偶函数求参数

本题导读

$y=x^2+(1-a)x-a$，偶函数要求一次项 $1-a=0$，故 $a=1$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 若函数 $y=(x+1)(x-a)$ 为偶函数，则 $a=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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二次函数是偶函数当且仅当不含一次项：展开后令一次项系数为零即可定 $a$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

展开 $y=(x+1)(x-a)=x^2-ax+x-a=x^2+(1-a)x-a$．若 $y$ 为偶函数，则对一切 $x$ 有 $y(-x)=y(x)$，这等价于一次项系数为零，即 $1-a=0$，解得 $a=1$．检验：$a=1$ 时 $y=x^2-1$，确为偶函数．故选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数的判定与参数求值

核心方法：二次函数展开后令一次项系数为零即得偶函数

避坑指南：偶函数的充要条件是 $f(-x)=f(x)$ 对定义域内一切 $x$ 成立；对多项式函数可直接用”偶函数只含偶次项”判断，别漏常数项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材函数奇偶性判定，二次函数偶函数充要条件

结论推广：多项式 $f(x)=\sum a_k{x}^k$ 为偶函数 $\iff$ 奇次项系数全为 $0$

方法推广：判偶函数两条路：验证 $f(-x)=f(x)$，或直接看奇次项；含参数多项式首选”奇次项系数为零”快速定参

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-06 单-分式奇函数求参
• 2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式