2009-辽宁卷文-12 单-偶函数单调解不等式

本题导读

考查函数性质。偶函数且在 $[0,+\infty )$ 递增，$f(2x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)$ 等价于 $|2x-1|<\frac{1}{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 已知偶函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty )$ 单调增加，则满足 $f(2x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)$ 的 $x$ 取值范围是 ()

A. $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　B. $\left[\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$　　　C. $\left(\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$　　　D. $\left[\frac{1}{2},\frac{2}{3}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 偶函数：$f(u)<f(v)\iff |u|<|v|$（在 $[0,+\infty )$ 上递增）。
2. $|2x-1|<\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)$ 为偶函数：$f(2x-1)=f(|2x-1|)$，$f\left(\frac{1}{3}\right)=f\left(\left|\frac{1}{3}\right|\right)$。 又 $f$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调增加，故 $f(2x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)\iff |2x-1|<\frac{1}{3}$。 即 $-1<\frac{2x-1}{1/3}<1$，解得 $\frac{1}{3}<x<\frac{2}{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：偶函数与单调性

核心方法：偶函数脱绝对值 + 单调性转化

避坑指南：$f(2x-1)<f\left(\frac{1}{3}\right)\iff |2x-1|<\frac{1}{3}$，解出的是开区间 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$，端点取等会使 $f$ 值相等。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：偶函数 + 单调性解不等式是抽象函数主打题型。

结论推广：$f$ 偶且在 $[0,+\infty )$ 增：$f(u)<f(v)⟺|u|<|v|$。

方法推广：$|2x-1|<c⟺1-c<2x<1+c$，两边同除 $2$ 时端点开闭不变。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-15 单-偶函数单调性
• 2011-新课标卷文-03 单-偶函数与单调性
• 2012-重庆卷文-12 填-偶函数求参数