2008-辽宁卷文-06 单-切线倾斜角定范围

本题导读

$k=2x+2\in [0,1]$，即 $-2⩽2x⩽-1$，得 $-1⩽x⩽-\frac{1}{2}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 设 $P$ 为曲线 $C:y=x^2+2x+3$ 上的点，且曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线倾斜角的取值范围是 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，则点 $P$ 横坐标的取值范围是()

A. $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$　　　B. $[-1,0]$　　　C. $[0,1]$　　　D. $\left[\frac{1}{2},1\right]$

🔍【思路分析】

破题导航

切线斜率 $=$ 倾斜角的正切；倾斜角在 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 时斜率 $k\in [0,1]$；把 $k=2x+2$ 代入解不等式.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设点 $P$ 的横坐标为 $x$，则曲线 $C$ 在点 $P$ 处切线的斜率 $k=y^{\prime }=2x+2$．由倾斜角 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$，得 $k=\tan \alpha \in [0,1]$，即 $0⩽2x+2⩽1$，解得 $-1⩽x⩽-\frac{1}{2}$．所以点 $P$ 横坐标的取值范围是 $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$．故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数几何意义与倾斜角范围

核心方法：切线斜率 $k=y^{\prime }$，由倾斜角 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 得 $k\in [0,1]$

避坑指南：倾斜角范围 $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ 对应斜率 $[0,1]$，$\tan \frac{\pi }{4}=1$ 别写成 $\frac{\sqrt{2}}{2}$；不等式 $0⩽2x+2⩽1$ 解出的左端点 $-1$ 是闭的

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材导数的几何意义与直线倾斜角

结论推广：曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处切线斜率 $k=f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$

方法推广：倾斜角范围转斜率范围用正切单调性；斜率与横坐标的关系由导数表达式反解

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2008-辽宁卷理-06
• 2014-辽宁卷理-11 单-导数单调性与极值