2014-辽宁卷理-11 单-导数单调性与极值

本题导读

本题考查不等式恒成立问题下的参数范围求解。核心意图是考查学生通过参变量分离转化问题，并利用换元法和导数工具研究函数最值的能力。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 当 $x\in [-2,1]$ 时，不等式 $a{x}^3-x^2+4x+3\ge 0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是()

A. $[-5,-3]$　　B. $[-6,-\frac{9}{8}]$　　C. $[-6,-2]$　　D. $[-4,-3]$

🔍【思路分析】

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1. 特殊值检验：当 $x=0$ 时，不等式为 $3\ge 0$ 恒成立，无需讨论。
2. 参变量分离：当 $x\ne 0$ 时，将 $a$ 分离出来。由于 $x^3$ 的正负在区间内会发生变化，需分类讨论：
   • 当 $x\in (0,1]$ 时，$a\ge \frac{x^2-4x-3}{x^3}$，需满足 $a\ge f(x{)}_{\max }$。
   • 当 $x\in [-2,0)$ 时，$a\le \frac{x^2-4x-3}{x^3}$，需满足 $a\le f(x{)}_{\min }$。
3. 构造函数并换元：令 $f(x)=\frac{x^2-4x-3}{x^3}=\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3}$。 令 $t=\frac{1}{x}$，构造新函数 $y(t)=-3t^3-4t^2+t$。
4. 利用导数求最值：确定 $t$ 的取值范围，研究 $y(t)$ 的单调性，分别求出两个区间上的最值，从而确定 $a$ 的范围。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分类讨论与参变量分离 原不等式为 $a{x}^3\ge x^2-4x-3$。

• 当 $x\in (0,1]$ 时，$x^3>0$，则 $a\ge \frac{x^2-4x-3}{x^3}$。
• 当 $x\in [-2,0)$ 时，$x^3<0$，则 $a\le \frac{x^2-4x-3}{x^3}$。

第二步：换元简化函数 令 $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{4}{x^2}-\frac{3}{x^3}$。设 $t=\frac{1}{x}$，则新函数为 $y=-3t^3-4t^2+t$。 对 $y$ 求导：$y^{\prime }=-9t^2-8t+1=-(9t-1)(t+1)$。 令 $y^{\prime }=0$，得 $t_1=\frac{1}{9},t_2=-1$。 单调性：$y$ 在 $(-\infty ,-1)$ 递减，在 $(-1,\frac{1}{9})$ 递增，在 $(\frac{1}{9},+\infty )$ 递减。

第三步：分区间求最值确定 $a$

1. 当 $x\in (0,1]$ 时，$t=\frac{1}{x}\in [1,+\infty )$。 由单调性知 $y$ 在 $[1,+\infty )$ 递减，故 $y_{\max }=y(1)=-3(1{)}^3-4(1{)}^2+1=-6$。 所以 $a\ge -6$。
2. 当 $x\in [-2,0)$ 时，$t=\frac{1}{x}\in (-\infty ,-\frac{1}{2}]$。 由单调性知 $y$ 在 $(-\infty ,-1]$ 递减，在 $[-1,-\frac{1}{2}]$ 递增。 比较端点与极值：$y(-1)=-3(-1{)}^3-4(-1{)}^2+(-1)=3-4-1=-2$。 $y(-\frac{1}{2})=-3(-\frac{1}{8})-4(\frac{1}{4})-\frac{1}{2}=\frac{3}{8}-1-\frac{4}{8}=-\frac{9}{8}$。 故在此区间上 $y_{\min }=y(-1)=-2$。 所以 $a\le -2$。

第四步：综合结论 综合上述两个条件，得实数 $a$ 的取值范围是 $[-6,-2]$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式恒成立转化。$a\ge f(x)$ 恒成立 $⟺a\ge f(x{)}_{\max }$；$a\le f(x)$ 恒成立 $⟺a\le f(x{)}_{\min }$。

2. 核心方法：换元法是处理分式函数或复合函数的有效手段，能将复杂的结构转化为熟悉的多项式函数。

3. 避坑指南：参变量分离时，如果除以的变量取值可能为负或零，一定要分类讨论，防止不等号方向出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三次函数的图象特征、零点存在性定理。

2. 结论推广: $a\ge f(x)$ 恒成立 $⟺a\ge f(x{)}_{\max }$；$a\le f(x)$ 恒成立 $⟺a\le f(x{)}_{\min }$。

3. 方法推广: 面对 $f(x)\ge g(x)$ 且无法直接分离参数时，可构造 $h(x)=f(x)-g(x)$，利用导数研究 $h(x{)}_{\min }\ge 0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-19 解-导数单调性与极值
• 2013-浙江卷理-22 解-导数单调性与极值
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值