2008-辽宁卷文-09 单-线性规划求最值

本题导读

可行域顶点 $(0,1)$、$(1,0)$、$(-1,2)$，$z=2x+y$ 分别取 $1$、$2$、$0$，最大值为 $2$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 已知变量 $x$，$y$ 满足约束条件$\{\begin{array}{l}y+x-1⩽0,\\ y-3x-1⩽0,\\ y-x+1⩾0,\end{array}$则 $z=2x+y$ 的最大值为()

A. $4$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-4$

🔍【思路分析】

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三条直线两两相交得三角形可行域；线性目标函数在可行域顶点处取得最值，把三个顶点代入 $z=2x+y$ 比大小.

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由约束条件画出可行域（如图为三条直线$y=-x+1$、$y=3x+1$、$y=x-1$ 围成的三角形区域）． 三直线两两相交得顶点：$x+y=1$ 与 $y=3x+1$ 交于 $(0,1)$；$x+y=1$ 与 $y=x-1$ 交于 $(1,0)$；$y=3x+1$ 与 $y=x-1$ 交于 $(-1,2)$． 将三顶点代入 $z=2x+y$：$(0,1)$ 得 $z=1$；$(1,0)$ 得 $z=2$；$(-1,2)$ 得 $z=0$．所以 $z$ 的最大值为 $2$．故选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划目标函数最值

核心方法：画可行域，线性目标函数在顶点处取最值，逐一检验

避坑指南：三条直线围成三角形可行域，三个顶点都要代入 $z=2x+y$ 比大小；约束 $y-x+1⩾0$ 即 $y⩾x-1$，别把方向画反

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材线性规划，图解法求最值

结论推广：可行域顶点代入目标函数比大小；线性目标函数最值必在顶点取得

方法推广：画可行域先定每条约束的方向；目标函数 $z=ax+by$ 的等值线斜率决定最值点位置

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2012-辽宁卷文-09 单-线性规划最值
• 2014-辽宁卷文-14 填-线性规划