2012-辽宁卷文-09 单-线性规划最值

本题导读

本题考查线性规划求最值。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y⩽10,\\ 0⩽x+y⩽20,\\ 0⩽y⩽15,\end{array}$ 则 $2x+3y$ 的最大值为()

A. $20$　　　　　　　B. $35$　　　　　　　C. $45$　　　　　　　D. $55$

🔍【思路分析】

破题导航

可行域顶点为 $(0,0)$，$(10,0)$，$(15,5)$，$(5,15)$，$(-15,15)$；$2x+3y$ 在各点的值依次为 $0$，$20$，$45$，$55$，$15$，最大值 $55$，故选 D

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

可行域由 $x-y⩽10$，$0⩽x+y⩽20$，$0⩽y⩽15$ 围成，其顶点为：

$(0,0)$（$x+y=0$ 与 $y=0$ 的交点）；$(10,0)$（$x-y=10$ 与 $y=0$ 的交点）；

$(15,5)$（$x-y=10$ 与 $x+y=20$ 的交点）；$(5,15)$（$x+y=20$ 与 $y=15$ 的交点）；$(-15,15)$（$x+y=0$ 与 $y=15$ 的交点）。

计算 $z=2x+3y$：

$(0,0)$：$z=0$；$(10,0)$：$z=20$；$(15,5)$：$z=30+15=45$；$(5,15)$：$z=10+45=55$；$(-15,15)$：$z=-30+45=15$。

所以最大值为 $55$，在 $(5,15)$ 处取得，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二元一次不等式组表示的平面区域；线性目标函数的最值

核心方法：画可行域、求顶点、逐点代入目标函数（顶点法）

避坑指南：可行域左侧顶点 $(-15,15)$ 容易漏画（由 $x+y=0$ 与 $y=15$ 而来），漏掉它不影响本题最大值，但画错区域形状会导致判断失误；最值在顶点处取得，逐点代入比平移直线更稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划最值题，与 2012 年天津卷文第 2 题、2012 年广东卷文第 5 题、2012 年新课标Ⅰ文第 5 题同族。

结论推广：线性目标函数 $z=Ax+By$（$A$，$B>0$）的最值必在可行域顶点处取得；把所有顶点逐一算完再比较，可避免”凭感觉截断”。

方法推广：线性规划填空或选择：约束条件全部画出 → 求出所有顶点坐标 → 逐点代入目标函数 → 取最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-02 单-线性规划最值
• 2012-广东卷文-05 单-线性规划最值
• 2012-新课标卷文-05 单-线性规划