2008-辽宁卷文-15 填-二项式展开常数项

本题导读

${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ 通项 ${\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}\cdot x^{-2k}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-3k}$；常数项 $6-3k=0$ 得 $k=2$，系数 ${\mathrm{C}}_6^2=15$；$x^{-3}$ 项 $6-3k=-3$ 得 $k=3$，系数 ${\mathrm{C}}_6^3=20$；总常数项 $=15+20=35$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） $(1+x^3){\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ 展开式中的常数项为　　　.

🔍【思路分析】

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把 $(1+x^3)$ 拆成 $1$ 与 $x^3$ 两项，分别与后一因式展开式中 $x^0$、$x^{-3}$ 项配对；后一因式的通项由二项式定理直接写出.

✅【答案】

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$35$

✍【详细解析】

Abstract

${\left(x+\frac{1}{x^2}\right)}^6$ 的展开式通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-k}\cdot {\left(\frac{1}{x^2}\right)}^k={\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-3k}$． 常数项要求 $x$ 的指数为 $0$：由 $1$ 配对需 $6-3k=0$，得 $k=2$，对应 ${\mathrm{C}}_6^2=15$；由 $x^3$ 配对需 $6-3k=-3$，得 $k=3$，对应 ${\mathrm{C}}_6^3=20$． 所以展开式中的常数项为 $15+20=35$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开的常数项

核心方法：拆 $(1+x^3)$ 为 $1$ 与 $x^3$，分别配对后一因式的 $x^0$、$x^{-3}$ 项

避坑指南：后一因式通项是 ${\mathrm{C}}_6^k{x}^{6-3k}$，$x$ 的指数 $6-3k$ 要一次算对；两项常数项 $15$ 与 $20$ 都要计入，别只算一项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材二项式定理，通项公式求指定项

结论推广：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$；常数项令 $x$ 指数为 $0$

方法推广：多个因式相乘时分别配对再相加；指定项（常数项、某次项）统一令指数等于目标值反解 $k$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷理-07 单-二项式通项
• 2012-大纲卷理-15 填-定积分