本题导读
本题考查二项式定理，以及二项式系数的性质。
📌【题干】
Question
（2012年大纲卷(理)） 若 的展开式中第 项与第 项的二项式系数相等，则该展开式中 的系数为 .
🔍【思路分析】
破题导航
- 准确区分概念：特别注意题干中的描述是“二项式系数”，其仅指组合数 ，与包含字母或常数部分的“项的系数”互不相同。
- 求解总幂次 ：根据二项式展开式的规律，第 项的二项式系数为 。第 3 项与第 7 项的二项式系数分别为 与 。利用组合数的对称性公式 建立方程解出 。
- 写出通项并代入消元：写出标准通项公式 ，将字母底数 的指数项合并。
- 配对指数求系数：目标项是 ，即 。令通项中 的综合指数等于 ，解出对应的项数指示器 ，代入组合数计算即可。
✅【答案】
点击查看答案
56
✍【详细解析】
Abstract
根据二项式定理的展开规律， 展开式的通项公式中：
- 第 项（即 时）的二项式系数为：
- 第 项（即 时）的二项式系数为：
因为已知这两项的二项式系数相等，所以有：
根据组合数的对称性质，若 ，则必然满足 。 由此建立方程：
将总幂次 代入原式中，该二项式为 。 写出其展开式的标准通项公式 ： 合并同底数幂的指数部分：
题目要求的是 的系数。由于 ， 令通项中 的综合指数部分等于 ，列出方程： 移项化简得：
将 代入通项公式中，此时对应的是展开式的第 6 项（即 ）：
由此可知， 的各项前代数系数为组合数 。 利用组合数计算公式进行展开：
填空题答案为：56。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：二项式系数对称性质的应用、通项公式 的指数化简合并、各项前代数系数的计算。
- 核心方法：指数方程配对法。将二项式内复杂的字母项全部统一底数（写成幂指数形式，如 ），使通项公式中的自变量归结为单一的 结构，然后通过一元一次方程 能够极其规范地锁定目标项。
- 避坑指南：
- 概念混淆：必须牢记“第几项”与组合数下标的“错位关系”。第 项对应的是 。部分考生因马虎将第 3 项错写成 、第 7 项错写成 ，从而解出 的错误前置。
- 目标指数符号看错：目标是 的系数，指数项是 ，容易因粗心看成 误令 从而算出错误系数 （本题中巧合对称相等，但若是其他题目则会彻底算错）。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布》之前的传统二项式定理专篇（现普遍作为计数原理的独立延伸章节）。属于高考考查二项式基本功必考的标准填空题模版。
- 结论推广:
- 对称二项式特定项系数通用模型：对于形如 的标准对称二项式。若已知其第 项与第 项的二项式系数相等。
- 第一步可直接口算得出总幂次： 。
- 第二步写出其通项指数方程： （其中 为目标项 的指数）。
- 从而可推导得出求解特定项指数位置 的一般化通用快捷通式：
- 本题中 ，直接代入此推广通式： 。通过该通用模型，能直接免去中间全部的通项公式书写与指数化简过程，一步锁定 ，从而极大地提升在考场上的答题准确率与速度。
🔗【关联脉络】
Multi column
知识锚点 (Nodes)