2008-辽宁卷文-18 解-频率与独立重复试验

本题导读

(1)$0.2$、$0.5$、$0.3$；(2)(i) $1-0.7^4=0.7599$；(ii) $0.3^4+4\times 0.5\times 0.3^3=0.0081+0.054=0.0621$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近 $100$ 周的统计结果如下表所示： | 周销售量 | 2 | 3 | 4 | | 频数 | 20 | 50 | 30 |

(1)根据上面统计结果，求周销售量分别为 $2$ 吨、$3$ 吨和 $4$ 吨的频率；

(2)若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求 （i）$4$ 周中该种商品至少有一周的销售量为 $4$ 吨的概率； （ii）该种商品 $4$ 周的销售量总和至少为 $15$ 吨的概率．

🔍【思路分析】

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(1)直接按频率定义算. (2)三周销售额独立，用二项分布模型；“至少一周为 $4$ 吨”用对立事件（四周都不是 $4$ 吨）最简；“总和至少 $15$ 吨”因每周至多 $4$ 吨，只能是”全 $4$ 吨”或”恰一周 $3$ 吨其余 $4$ 吨”两种情况.

✅【答案】

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(1)$0.2$，$0.5$，$0.3$；　(2)(i) $0.7599$；(ii) $0.0621$

✍【详细解析】

Abstract

(1)频率 $=$ 频数 $÷$ 总周数 $100$，故周销售量为 $2$、$3$、$4$ 吨的频率分别为 $\frac{20}{100}=0.2$，$\frac{50}{100}=0.5$，$\frac{30}{100}=0.3$． (2)以频率作为概率，每周销售量为 $2$、$3$、$4$ 吨的概率分别为 $0.2$、$0.5$、$0.3$． （i）每周销售量为 $4$ 吨的概率为 $0.3$，不是 $4$ 吨的概率为 $0.7$．由各周销售量相互独立，$4$ 周中至少有一周销售量为 $4$ 吨的概率为 $1-0.7^4=1-0.2401=0.7599$． （ii）四周销售量的总和至少为 $15$ 吨，而每周销售量至多为 $4$ 吨，故只有两种情形：四周均为 $4$ 吨，或恰有一周为 $3$ 吨且其余三周为 $4$ 吨．所求概率为 $0.3^4+{\mathrm{C}}_4^1\times 0.5\times 0.3^3=0.0081+0.054=0.0621$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频率、概率与独立重复试验

核心方法：频率作概率，用二项分布与对立事件求概率，总和至少 $15$ 吨分类讨论

避坑指南：（i）“至少一周为 $4$ 吨”用 $1-0.7^4$，别正面累加；（ii）总和至少 $15$ 吨只有”全 $4$ 吨”和”恰一 $3$ 吨”两种，$0.3^4$ 与 $4\times 0.5\times 0.3^3$ 别混

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材频率、概率与独立重复试验（二项分布背景）

结论推广：频率 $\to$ 概率 $\to$ 独立事件乘法定理；“至少”用对立事件，总和分类讨论

方法推广：频率作概率是统计推断的基本思想；二项分布中”至少、至多”优先对立事件简化计算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-18 解-直方图与独立性检验
• 2014-辽宁卷理-18 解-频率分布直方图