2014-辽宁卷理-18 解-频率分布直方图

本题导读

本题结合实际生活场景，考查频率分布直方图的信息提取以及概率分布模型的建立。第一问考查独立事件的概率计算；第二问识别出二项分布模型并求解分布列及数字特征。

📌【题干】

Question

（2014年辽宁卷(理)） 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

(1) 求在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另一天的日销售量低于 50 个的概率；

(2) 用 $X$ 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数，求随机变量 $X$ 的分布列，期望 $E(X)$ 及方差 $D(X)$.

🔍【思路分析】

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1. 第一阶段：频率分布直方图数据提取
   • 频率 = 矩形面积 = 组距 × (频率/组距)。本题组距为 50。
   • 计算“日销售量不低于 100 个”的频率：即计算区间 $[100,250]$ 的总面积。
   • 计算“日销售量低于 50 个”的频率：即计算区间 $[0,50]$ 的面积。
2. 第二阶段：特定事件概率计算
   • 设事件 $A$: 日销售量不低于 100 个，事件 $B$: 日销售量低于 50 个。
   • 第一问要求“连续 2 天 A 且另一天 B”，有两种排列情况：(A, A, B) 或 (B, A, A)。
3. 第三阶段：二项分布模型建立
   • 3 天内销售量不低于 100 个的天数 $X$ 符合二项分布 $X\sim B(n,p)$，其中 $n=3$。
   • 利用公式 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 列出分布列。
   • 利用公式 $E(X)=np,D(X)=np(1-p)$ 计算期望与方差。

✅【答案】

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故所求概率为 $0.108$

✍【详细解析】

Abstract

解： (1) 由频率分布直方图可知： 日销售量不低于 100 个的概率 $P_1=(0.006+0.004+0.002)\times 50=0.6$。 日销售量低于 50 个的概率 $P_2=0.003\times 50=0.15$。 设“在未来连续 3 天里，有连续 2 天的日销售量不低于 100 个且另一天低于 50 个”为事件 $M$。 事件 $M$ 包含两种互斥情况：第一、二天不低于 100 个且第三天低于 50 个；或第一天低于 50 个且第二、三天不低于 100 个。 由事件独立性得： $P(M)=0.6\times 0.6\times 0.15+0.15\times 0.6\times 0.6=0.054\times 2=0.108$ 故所求概率为 $0.108$。

(2) 由题意可知，$X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$。 且 $X\sim B(3,0.6)$。 相应概率分别为： $P(X=0)=C_3^0\times 0.6^0\times (1-0.6{)}^3=0.064$ $P(X=1)=C_3^1\times 0.6^1\times (1-0.6{)}^2=3\times 0.6\times 0.16=0.288$ $P(X=2)=C_3^2\times 0.6^2\times (1-0.6{)}^1=3\times 0.36\times 0.4=0.432$ $P(X=3)=C_3^3\times 0.6^3\times (1-0.6{)}^0=0.216$

随机变量 $X$ 的分布列为：

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0.064$	$0.288$	$0.432$	$0.216$

计算期望与方差： $E(X)=np=3\times 0.6=1.8$。 $D(X)=np(1-p)=3\times 0.6\times 0.4=0.72$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频率分布直方图中纵轴含义（频率/组距），二项分布的判定与计算。

2. 核心方法：识别独立重复试验模型。只要是“$n$ 次试验”、“每次成功概率 $p$ 相同”且“互相独立”，即可直接套用二项分布。

3. 避坑指南：第一问中容易漏掉“连续”这一限制条件导致多算或少算情况。例如，“前两天不低于100且第三天低于50”与“第一天低于50且后二天不低于100”是仅有的两种满足题意的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 正态分布（当 $n$ 很大时的极限分布）、超几何分布（不放回抽样的模型）。

2. 结论推广: $X\sim B(n,p)$ 时 $E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$。

3. 方法推广: 对于复杂的离散型分布，分布列各概率之和必须等于 1，这是检查计算准确性的重要手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-18 解-频率分布直方图
• 2015-广东卷文-17 解-频率分布直方图
• 2014-重庆卷文-17 解-频率分布直方图