2008-辽宁卷文-22 解-三次函数极值与含参范围

本题导读

$b^2=9a^2(1-a)$；(1)$a=1$ 时 $b=0$，增 $(-\infty ,-1)$、$(1,+\infty )$，减 $(-1,1)$；(2)$0<a⩽1$，$b^2=9a^2(1-a)$ 最大值 $\frac{4}{3}$，故 $-\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽b⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(文)） 设函数 $f(x)=a{x}^3+b{x}^2-3a^{2}x+1$（$a$，$b\in \mathbf{R}$）在 $x=x_1$，$x=x_2$ 处取得极值，且 $|x_1-x_2|=2$．

(1)若 $a=1$，求 $b$ 的值，并求 $f(x)$ 的单调区间；

(2)若 $a>0$，求 $b$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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极值点即导函数零点，$x_1$、$x_2$ 是 $3a{x}^2+2bx-3a^2=0$ 的两根，用韦达定理与 $|x_1-x_2|=2$ 建立 $a$、$b$ 的关系. (1)代入 $a=1$ 定 $b$，再按导函数符号排单调. (2)$a>0$ 时先由 $b^2⩾0$ 定 $a$ 的范围，再求 $b^2$ 的最大值定 $b$ 的范围.

✅【答案】

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(1)$b=0$，增区间 $(-\infty ,-1)$、$(1,+\infty )$，减区间 $(-1,1)$；(2)$-\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽b⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

对 $f(x)$ 求导，$f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2bx-3a^2$．因为在两个不同点取得极值，$a\ne 0$，且 $x_1$、$x_2$ 是方程 $3a{x}^2+2bx-3a^2=0$ 的两个不等实根，由韦达定理，$x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}$，$x_1{x}_2=-a$，于是 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=\frac{4b^2}{9a^2}+4a$．结合 $|x_1-x_2|=2$，得 $\frac{4b^2}{9a^2}+4a=4$，即 $b^2=9a^2(1-a)$． (1)当 $a=1$ 时，$b^2=0$，故 $b=0$，此时 $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$．当 $x<-1$ 或 $x>1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$；当 $-1<x<1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$．所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-1)$ 和 $(1,+\infty )$ 上单调递增，在 $(-1,1)$ 上单调递减． (2)当 $a>0$ 时，由 $b^2=9a^2(1-a)⩾0$，得 $0<a⩽1$．在此范围内，$b^2=9a^2(1-a)$．令 $h(a)=a^2(1-a)$，则 $h^{\prime }(a)=a(2-3a)$，所以 $h(a)$ 在 $a=\frac{2}{3}$ 处取得最大值 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2\times \frac{1}{3}=\frac{4}{27}$．因此 $b^2⩽9\times \frac{4}{27}=\frac{4}{3}$，即 $|b|⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$． 反过来，函数 $3a\sqrt{1-a}$ 在 $\left[\frac{2}{3},1\right]$ 上连续，取值从 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 变化到 $0$，故上述范围内的每个 $|b|$ 均可取得，最终 $-\frac{2\sqrt{3}}{3}⩽b⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三次函数的极值与含参范围

核心方法：极值点即导函数零点，用韦达定理与 $|x_1-x_2|=2$ 建立 $b^2=9a^2(1-a)$；求 $b^2$ 最大值定 $b$ 的范围

避坑指南：$x_1{x}_2=-\frac{3a^2}{3a}=-a$，别把 $x_1{x}_2$ 算成 $\frac{-3a^2}{3a}$ 之外的量；$h(a)=a^2(1-a)$ 在 $a=\frac{2}{3}$ 取最大 $\frac{4}{27}$，故 $b^2⩽\frac{4}{3}$，最终 $|b|⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材导数应用：极值、单调区间与含参范围

结论推广：极值点即导函数零点，韦达定理建立参数关系；$b^2=9a^2(1-a)$ 求最值定 $b$ 范围

方法推广：三次函数极值问题先分解导函数找零点；含参范围题”必要性 $+$ 充分性”两步：先定范围，再验证可取到

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.04 三次函数性质全总结

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-21 解-导数单调性
• 2014-辽宁卷理-11 单-导数单调性与极值