2008-辽宁卷理-01 单-集合

本题导读

本题考查复数的四则代数

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 圆 $x^2+y^2=1$ 与直线 $y=kx+2$ 没有公共点的充要条件是 ()

A. $k\in (-\sqrt{2},\sqrt{2})$　　　　　　　　　　　　　　B. $k\in (-\infty ,-\sqrt{2})\cup (\sqrt{2},+\infty )$

C. $k\in (-\sqrt{3},\sqrt{3})$　　　　　　　　　　　　　　D. $k\in (-\infty ,-\sqrt{3})\cup (\sqrt{3},+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将直线方程化为一般式，明确圆的圆心坐标与半径。
2. 利用直线与圆相离（没有公共点）的几何条件：圆心到直线的距离 $d>r$，建立含参数 $k$ 的不等式求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r=1$。 直线方程化为一般式为 $kx-y+2=0$。 因为圆与直线没有公共点，所以圆心到直线的距离 $d>r$， 即 $d=\frac{|k\cdot 0-0+2|}{\sqrt{k^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}>1$。 两边平方得 $\frac{4}{k^2+1}>1$，解得 $k^2+1<4⟹k^2<3$， 解得 $-\sqrt{3}<k<\sqrt{3}$，即 $k\in (-\sqrt{3},\sqrt{3})$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆心到直线的距离公式，直线与圆相离的充要条件。
2. 核心方法：几何法（相比联立方程的点乘判别式法，几何法计算量更小且不易出错）。
3. 避坑指南：注意一般式中系数的对应，分母为 $\sqrt{k^2+1}$ 而非 $\sqrt{k^2-1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于解析几何中利用距离测度判定曲线间拓扑关系的经典原理。
2. 结论推广: 圆 $x^2+y^2=r^2$ 与直线 $y=kx+b$ 相离的充要条件通式为 $b^2>r^2(1+k^2)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-13 填-集合交集与不等式
• 2012-天津卷文-09 填-绝对值不等式与整数集合
• 2009-上海卷文-02 填-集合并集定参