2008-辽宁卷理-21 解-数列

本题导读

本题考查等差、等比数列概念的综合应用及递推数列通项公式的求解与证明。第一问采用通过前几项数值进行归纳猜想，并使用数学归纳法进行严格论证；第二问属于经典的数列不等式放缩证明，核心在于通过精确放缩构建可裂项相消的对偶结构。

📌【题干】

Question

（2008年辽宁卷(理)） 在数列 $\{a_n\},\{b_n\}$ 中，$a_1=2,b_1=4$，且 $a_n,b_n,a_{n+1}$ 成等差数列，$b_n,a_{n+1},b_{n+1}$ 成等比数列.

(1)求 $a_2,a_3,a_4$ 及 $b_2,b_3,b_4$，由此猜测 $\{a_n\},\{b_n\}$ 的通项公式，并证明你的结论；

(2)证明：$\frac{1}{a_1+b_1}+\frac{1}{a_2+b_2}+\cdots +\frac{1}{a_n+b_n}<\frac{5}{12}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：依据等差、等比中项关系建立递推式 $a_{n+1}=2b_n-a_n$ 与 $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}^2}{b_n}$。点算出前四项后寻找因数规律进行猜想，随后利用数学归纳法完成两数列通项的联动证明。
2. 第二问：将通项公式代入目标代数式，化简为 $\frac{1}{(n+1)(2n+1)}$。保留第一项 $\frac{1}{6}$，对其余项利用 $2n+1>2n$ 进行分母缩小放缩，化为能整齐裂项的形式求解上界。

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对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，皆有 $a_n=n(n+1),b_n=(n+1{)}^2$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1)由题意可知： $a_{n+1}=2b_n-a_n,b_{n+1}=\frac{a_{n+1}^2}{b_n}$ 代入初值 $a_1=2,b_1=4$ 得： $a_2=2b_1-a_1=2\times 4-2=6$； $b_2=\frac{a_2^2}{b_1}=\frac{6^2}{4}=9$。 $a_3=2b_2-a_2=2\times 9-6=12$； $b_3=\frac{a_3^2}{b_2}=\frac{12^2}{9}=16$。 $a_4=2b_3-a_3=2\times 16-12=20$； $b_4=\frac{a_4^2}{b_3}=\frac{20^2}{16}=25$。 观察规律： $a_1=1\times 2,a_2=2\times 3,a_3=3\times 4,a_4=4\times 5⟹$ 猜测 $a_n=n(n+1)$。 $b_1=2^2,b_2=3^2,b_3=4^2,b_4=5^2⟹$ 猜测 $b_n=(n+1{)}^2$。

下面用数学归纳法证明该猜想： ① 当 $n=1$ 时， $a_1=1\times 2=2,b_1=2^2=4$， 猜想成立。 ② 假设当 $n=k$ ($k\ge 1$) 时猜想成立，即 $a_k=k(k+1),b_k=(k+1{)}^2$。 则当 $n=k+1$ 时： $a_{k+1}=2b_k-a_k=2(k+1{)}^2-k(k+1)=(k+1)[2(k+1)-k]=(k+1)(k+2)$ $b_{k+1}=\frac{a_{k+1}^2}{b_k}=\frac{(k+1{)}^2(k+2{)}^2}{(k+1{)}^2}=(k+2{)}^2$ 即当 $n=k+1$ 时猜想亦成立。 综上所述，对任意 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，皆有 $a_n=n(n+1),b_n=(n+1{)}^2$。

(2)证明：由(1)可知 $\frac{1}{a_n+b_n}=\frac{1}{n(n+1)+(n+1{)}^2}=\frac{1}{(n+1)(2n+1)}$。 当 $n=1$ 时， $\frac{1}{a_1+b_1}=\frac{1}{6}$。 当 $n\ge 2$ 时，由于 $2n+1>2n$， 故恒有： $\frac{1}{(n+1)(2n+1)}<\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ 因此： ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{a_k+b_k}=\frac{1}{6}+{\sum }_{k=2}^n\frac{1}{(k+1)(2k+1)}<\frac{1}{6}+\frac{1}{2}{\sum }_{k=2}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$ $=\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)}=\frac{5}{12}-\frac{1}{2(n+1)}<\frac{5}{12}$ 原不等式得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由中项性质确立的非线性递推方程组求解，数列求和不等式的裂项相消控制。
2. 核心方法：数学归纳法、分项精确放缩法。
3. 避坑指南：第(2)问中若直接整体放缩为 $\frac{1}{(n+1)(2n+1)}<\frac{1}{2n^2}$ 或直接对所有项从 $n=1$ 开始放缩，将导致放大尺度过粗，最终求和结果无法逼近 $\frac{5}{12}$ 这一精确边界。必须将第一项独立保留，从第二项开始进行分母的局部合理放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题设计基于古典算术-几何平均数（AGM）迭代序列的离散简化模型，通过两级交织递推，引导出多项式阶数的有序递增。
2. 结论推广: 本题中级数和的极限本质为 ${\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{1}{(k+1)(2k+1)}=2-2\ln 2\approx 0.6137$ （从 $k=0$ 开始），本题截取了其子序列片段，可用欧拉常数及级数有界性判定其广义有界性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2010-天津卷文-22 解-数列通项与不等式证明
• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2013-天津卷文-19 解-等比数列与不等式